Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 37
30. Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
Passo 1
Oie, meu querido e amado amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
A gente precisa encontrar a menor distancia entre o ponto:
E o plano:
A ideia nessa questão vai ser achar a distância entre o ponto dado e um ponto qualquer.
Em seguida, vamos impor a restrição que esse ponto qualquer está no plano.
E pra finalizar, vamos minimizar essa distância.
Para isso iremos utilizar a Regra da Segunda Derivada:
e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de .
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Vem comigo!
Passo 2
A distancia entre um ponto genérico e o nosso ponto é dado por:
Como o ponto está no plano, ele deve respeitar a equação do plano:
Substituindo isso em :
Como queremos minimizar , basta minimizarmos o que está dentro da raiz. Assim,
Pra minimizarmos, vamos achar as derivadas parciais e igualar a zero.
Passo 3
Olha só:
Em relação a :
Igualando a zero:
Em relação a :
Igualando a zero:
Então temos o seguinte:
Resolvendo o sistema, temos:
e
Logo, o único ponto crítico é
Passo 4
Agora precisamos fazer o teste da segunda derivada. Para isso, vamos achar , e .
Logo, derivando novamente essa equação:
E para o :
Agora vamos achar o
Assim:
Usando o teste da segunda derivada:
Portanto:
Como , logo é um ponto de mínimo. Agora é só achar a distância, como e :
Então a distância fica:
Por fim:
Resposta
A menor distância é