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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 15

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2

C é a circunferência x 2 + y 2 = 25 , orientada no sentido horário

Passo 1

Fala aí, terráqueos!

A questão quer que a gente use o teorema de Green para calcular

∫ C F ⋅ d r

Sendo C uma circunferência orientada no sentido horário:

x 2 + y 2 = 25

E F sendo

F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2

Precisamos também verificar a orientação da curva antes de aplicar o teorema, belê?

Passo 2

Uma curva tem orientação positiva se for orientada no sentido anti-horário, da maneira que está descrita a curva temos uma orientação negativa, então para aplicar o teorema, precisaremos usar na integral sobre - C , pela relação

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

Onde a segunda integral tem orientação positiva e podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, faremos a derivada de cada termo:

∫ - C e x + x 2 y ,   e y - x y 2 ⋅ d r

∬ D ∂ ∂ x e y - x y 2 - ∂ ∂ y e x + x 2 y d A

∬ D - y 2 - - x 2   d A

- ∬ D ( x 2 + y 2 )   d A

Podemos calcular a integral em coordenadas polares.

Lembrando que

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ

d V = r   d r   d θ

r 2 = x 2 + y 2

E que a região D é definida pela circunferência

x 2 + y 2 ⏟ r 2 = 25

Então ficaremos com:

- ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 r   d r d θ

Podemos usar uma estratégia de resolução para essa integral bem top, organizando ela de acordo com seus integrandos...

- ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 5 r 3   d r

Calculando cada integral e substituindo pelos limites de integração, teremos

- 2 π 5 4 4 = - 625 2 π

Como temos

∫ C F ⋅ d r = - ∫ - C F ⋅ d r

∫ C F ⋅ d r = 625 2 π

Arrasamos! 😊

Resposta

∫ C F ⋅ d r = 625 2 π

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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 5,0 ,5,2e0,2 .
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)