Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2 C é a circunferência x 2 + y 2 = 25 , orientada no sentido horário

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 15

Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

é a circunferência , orientada no sentido horário

Passo 1

Fala aí, terráqueos!

A questão quer que a gente use o teorema de Green para calcular

Sendo uma circunferência orientada no sentido horário:

E sendo

Precisamos também verificar a orientação da curva antes de aplicar o teorema, belê?

Passo 2

Uma curva tem orientação positiva se for orientada no sentido anti-horário, da maneira que está descrita a curva temos uma orientação negativa, então para aplicar o teorema, precisaremos usar na integral sobre , pela relação

Onde a segunda integral tem orientação positiva e podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, faremos a derivada de cada termo:

Podemos calcular a integral em coordenadas polares.

Lembrando que

E que a região é definida pela circunferência

Então ficaremos com:

Podemos usar uma estratégia de resolução para essa integral bem top, organizando ela de acordo com seus integrandos...

Calculando cada integral e substituindo pelos limites de integração, teremos

Como temos

Arrasamos! 😊

Resposta

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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C cos ⁡ y d x + x 2 sin ⁡ y d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 5,0 ,5,2e0,2 .

Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F → x , y = x 2 + 1 i → + tan - 1 ⁡ x j → Onde, C é o triângulo de ( 0,0 ) a