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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 33

Use o teorema de Rolle para provar que se todo polinômio de quarto grau tiver no máximo quatro raízes reais, então todo polinômio de quinto grau terá no máximo cinco raízes reais. (Sugestão: suponha que um polinômio de quinto grau tenha seis raízes reais e mostre que isto leva a uma contradição.

Passo 1

Primeiro de tudo vamos lembrar o que o teorema de Rolle diz. Seja f uma função tal que ela seja contínua em [ a , b ] , derivável em ( a , b ) e com f a = 0 e f b = 0 . Então existe um número c no intervalo aberto ( a , b ) tal que f ' c = 0 .

Passo 2

Agora vamos começar assumindo f ( x ) uma função polinomial de grau 5 com raízes x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,   x 5 e x 6 . Vamos usar a sugestão do problema e supor que existam 6 raízes reais, ok? Perceba que ao mostrar que essa suposição é um absurdo, chegamos na conclusão de que um polinômio de grau 5 tem no máximo 5 raízes reais.

Como f ( x ) tem grau 5, f ' ( x ) terá grau 4 pois é uma função polinomial, ou seja, contínua e derivável.

Como f x 1 = f x 2 = 0 podemos aplicar o teorema de Rolle e verificar que existe um número c 1 no intervalo aberto ( x 1 , x 2 ) tal que f ' c 1 = 0 .

Como f x 2 = f x 3 = 0 podemos aplicar o teorema de Rolle e verificar que existe um número c 2 no intervalo aberto ( x 2 , x 3 ) tal que f ' c 2 = 0 .

Como f x 3 = f x 4 = 0 podemos aplicar o teorema de Rolle e verificar que existe um número c 3 no intervalo aberto ( x 3 , x 4 ) tal que f ' c 3 = 0 .

Como f x 4 = f x 5 = 0 podemos aplicar o teorema de Rolle e verificar que existe um número c 3 no intervalo aberto ( x 4 , x 5 ) tal que f ' c 4 = 0 .

Como f x 5 = f x 6 = 0 podemos aplicar o teorema de Rolle e verificar que existe um número c 3 no intervalo aberto ( x 5 , x 6 ) tal que f ' c 5 = 0 .

Agora observe que f ' c 1 = f ' c 2 = f ' c 3 = f ' c 4 = f ' c 5 = 0 , ou seja, f ' ( x ) é um polinômio de grau 4 com 5 raízes reais, isso contradiz a nossa hipótese de que um polinômio de grau 4 tem no máximo 4 raízes reais.

Portanto, a nossa suposição de que um polinômio de grau 5 tem 6 raízes reais é falsa.

Concluímos então que um polinômio de grau 5 tem no máximo 5 raízes reais

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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