Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 6
Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.
Bom, ele nos pede para analisar se a nossa funçãozinha é compatível com o teorema de Rolles e, se for, para achar todos os valores possíveis.
A função e o intervalo é:
Tem ideia de como fazemos isso?
Nosso primeiro passo vai ser relembrar a definição do teorema de Rolle.
“Sendo a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de ;
- é diferenciável no intervalo aberto de ;
- .
Então há um número no intervalo aberto onde ”
Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar nossa função.
Bora lá!
Passo 2
Por ser uma função polinomial, ela é contínua e diferenciável no intervalo. Então os quesitos e do teorema de Rolle são satisfeitos.
Os extremos têm os mesmos valores de funções.
O quesito também é satisfeito.
Então podemos afirmar que tem algum ponto nesse intervalo, que a derivada da função é nula:
Vamos calcular!
Passo 3
Agora só nos resta derivar a função e verificar os valores de tais que dentro do intervalo .
Pela regra da potência...
Aplicando o ponto e igualando a .
Pela fórmula de Bhaskara, podemos encontrar que:
Mas como é um limite do nosso intervalo, temos que desconsiderá-lo.
É isso! O que achou? Responde Aí!