Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.

f(x) = x³ - 2*x² - 4*x + 2, [-2, 2]

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos pede para analisar se a nossa funçãozinha é compatível com o teorema de Rolles e, se for, para achar todos os valores possíveis.

A função e o intervalo é:

f x = x ³ - 2 x 2 - 4 x + 2 ,     - 2 ,   2

Tem ideia de como fazemos isso?

Nosso primeiro passo vai ser relembrar a definição do teorema de Rolle.

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f é contínua no intervalo fechado de a , b ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de a , b ;
  3. f a = f b .

Então há um número c no intervalo aberto a , b onde f ' c = 0

Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar nossa função.

Bora lá!

Passo 2

Por ser uma função polinomial, ela é contínua e diferenciável no intervalo. Então os quesitos 1 e 2 do teorema de Rolle são satisfeitos.

Os extremos têm os mesmos valores de funções.

f - 2 = - 2 3 - 2 - 2 2 - 4 - 2 + 2 = - 6

f 2 = 2 3 - 2 2 2 - 4 2 + 2 = - 6

f - 2 = f 2

O quesito 3 também é satisfeito.

Então podemos afirmar que tem algum ponto nesse intervalo, que a derivada da função é nula:

f ' c = 0

Vamos calcular!

Passo 3

Agora só nos resta derivar a função f e verificar os valores de c tais que f ' c = 0 dentro do intervalo - 2,2 .

f x = x 3 - 2 x 2 - 4 x + 2

Pela regra da potência...

f ' x = 3 x 3 - 1 - 2 2 x 2 - 1 - 4 x 1 - 1 + 2 0

f ' x = 3 x 2 - 4 x - 4

Aplicando o ponto x = c e igualando a 0 .

f ' c = 3 c 2 - 4 c - 4 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, podemos encontrar que:

c = - 2 3 ,     c = 2

Mas como c = 2 é um limite do nosso intervalo, temos que desconsiderá-lo.

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

c = - 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados