Suponha que, para todo x , |g(x)| <= x^4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de g x x quando x tende a 0 , sabendo que para todo x , temos g x ≤ x 4 .

Beleza, vamos dar uma olhadinha melhor nesse módulo:

g x ≤ x 4

Temos que g x no limite está dividido por x , vamos então manipular a expressão para chegar a isso, vamos dividir ela por x :

g x ≤ x 4 ↔ g x x ≤ x 4 x ↔ g x x ≤ x 3

Vamos agora colocar módulo em x e x 3 , pois essas expressões podem assumir valores negativos:

g x x ≤ x 3 ↔ g x x ≤ x 3

Assumindo f x = 0 e h x = x 3 , temos uma das condições do Teorema do Confronto:

0 ≤ g x x ≤ x 3

⇒ f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

E Teorema do confronto nos diz que, quando essa condição é atendida, e o limite das extremidades são iguais, então o limite da função que tá no meio também é igual. Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites de g x e h x , verificar se eles são iguais e teremos o limite de f ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:

lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Agora resolvendo o limite de h ( x ) , temos:

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0 3

= 0

Passo 3

Então, descobrimos que ambos os limites são iguais a 0 :

lim x → 0 ⁡ 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

E pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

Como lim x → 0 ⁡ g x x é igual a zero, temos que também lim x → 0 ⁡ g x x é igual a zero.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

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