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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 5b

Calcule, caso existe, underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) em que f é dada por

f (x) = {[[x sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]])

Passo 1

Temos que ver se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁻)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = L

Então

underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = L

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando o limite:

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0)

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 0 pela direita, vamos pegar a condição e substituir no limite:

f (x) = x sen (1)/(x)

f (0) = 0

underset(x -> 0 ⁺)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) (x sen (1)/(x) - 0)/(x - 0) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) (x sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0 ⁺)(lim) sen (1)/(x)

Passo 3

Para calcular esse limite vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se a - delta < x < a + delta então L - epsilon < f (x) < L + epsilon

Temos que para todo delta > 0 existe um natural k tal que:

(1)/(k pi) < delta e (2)/((2 k + 1) pi) < delta

Temos também que:

sen (1)/(x) = 0 para x = (1)/(k pi)

sen (1)/(x) = 1 para x = (2)/((2 k + 1) pi)

Então para todo L é falsa a afirmação de que existe delta > 0 tal que:

para todo x , 0 < |x| < delta -> L - (1)/(4) < sen (1)/(x) < L + (1)/(4)

Assim, underset(x -> 0)(lim) sen (1)/(x) não existe.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) não existe.

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