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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 4

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t   F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = t g - 1 x 2 y z 2 i ^ + x 2 y j ^ + x 2 z 2 k ^

S é o cone x = y 2 + z 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , orientado na direção positiva do eixo x .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem?

A questão quer o valor de

∬ S r o t   F → ⋅ d S →

Onde

F → x , y , z = t g - 1 x 2 y z 2 i ^ + x 2 y j ^ + x 2 z 2 k ^

E s é cone

x = y 2 + z 2 , 0 ≤ x ≤ 2

orientado na direção positiva do eixo x .

Pessoal, o Teorema de Stokes é dado por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. E para a integral de linha temos que:

∫ C F . d r = ∫ C F r t . r ' t d t

Então, precisamos encontrar o vetor r t através da parametrização da nossa curva C . Com esse vetor em mãos, fazemos o produto escalar entre o vetor da função F aplicada nos parâmetros de r ( t ) e o vetor resultada de derivada de r ( t ) : r ' ( t ) .

Daí, é só resolvermos nossa integral normalmente!

Passo 2

Vamos começar identificando nossa curva C . Pela descrição do enunciado, nossa superfície S é cone

x = y 2 + z 2 , 0 ≤ x ≤ 2

orientado na direção positiva do eixo x . Como nosso cone está limitado até x = 2 , essa será nossa borda: a interseção entre o plano x = 2 e nosso cone. Colocando x = 2 na equação do cone:

2 = y 2 + z 2

Elevando toda a equação ao quadrado para eliminarmos a raiz:

y 2 + z 2 = 4 = 2 2

Então, nossa borda C é a circunferência centrada na origem, de raio 2 , no plano y z . Para parametrizarmos uma região circular podemos partir das equações semelhantes às coordenadas polares:

x = 2

(já que estamos no plano x = 2 )

y = r cos ⁡ t

z = r   s e n t  

Como nosso raio é r = 2 , temos:

x = 2

y = 2 cos ⁡ t

z = 2   s e n t  

Portanto, nosso vetor paramétrico será:

r → t = 2   i → + 2 cos ⁡ t j → + 2   s e n t   k → = 2,2 cos ⁡ t ,   2   s e n t

Passo 3

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: F r t e r ' t

r → t = 2,2 cos ⁡ t ,   2   s e n t

Derivando esse vetor em relação a t , temos:

r → ' t   = 0   i → - 2 s e n   t j → + 2 cos ⁡ t t k →

Escrevendo o campo vetorial:

F → x , y , z = t g - 1 x 2 y z 2 i ^ + x 2 y j ^ + x 2 z 2 k ^

Em função das equações parametrizadas

x = 2

y = 2 cos ⁡ t

z = 2   s e n t  

Temos:

F → t = t g - 1 2 2 2 cos ⁡ t 2   s e n t 2   i ^ + 2 2 2 cos ⁡ t j ^ + 2 2 2   s e n t 2 k ^

Simplificando:

F → t = t g - 1 32 cos ⁡ t   s e n 2 t i ^ + 8 cos ⁡ t j ^ + 16   s e n 2 t   k ^

Fazendo o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' t :

F → t ⋅ r → ' t = t g - 1 32 cos ⁡ t   s e n 2 t , 8 cos ⁡ t , 16   s e n 2 t ⋅ 0 , - 2   s e n   t ,   2 cos ⁡ t

somamos o produto das coordenadas dos vetores:

F → t ⋅ r → ' t = - 16   s e n   t cos ⁡ t + 32   s e n 2 t cos ⁡ t

Quanto temos uma parametrização de circunferência, nosso parâmetro t varia como:

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 4

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F r t . r ' t d t = ∫ C - 16   s e n   t cos ⁡ t + 32   s e n 2 t cos ⁡ t   d t

Aplicando a variação do nosso parâmetro t :

∫ 0 2 π - 16   s e n   t cos ⁡ t + 32   s e n 2 t cos ⁡ t   d t

Podemos separar a integral da soma numa soma de integrais:

∫ 0 2 π - 16   s e n   t cos ⁡ t   d t + ∫ 0 2 π 32   s e n 2 t cos ⁡ t   d t

Usando algumas identidades trigonométricas:

s e n   t cos ⁡ t = 1 2 ⋅ s e n   2 t  

E:

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

As integrais ficam:

∫ 0 2 π - 8   s e n   2 t   d t + ∫ 0 2 π 16 1 - cos ⁡ 2 t cos ⁡ t   d t =

Resolvendo as integrais, temos que a primeira integral será zero, pois     s e n   2 t sobre um período completo de 0 a 2 π é zero:

= 0 + ∫ 0 2 π 16 1 - cos ⁡ 2 t cos ⁡ t   d t

Mas a integral de um período completo sobre cos ⁡ t também é zero, então:

∬ S r o t F ⋅ d S → = 0 + 0 = 0

Resposta

∬ S r o t F ⋅ d S → = 0

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