Seja n a normal unitária exterior da casca elíptica

S : 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36 ,   z ≥ 0

E seja

F = y i + x 2 j + x 2 + y 2 3 / 2 sen ⁡ e x y z k

Encontre o valor de

∬ ∇ × F ∙ n d σ

(Sugestão: uma parametrização da elipse na base da casca é x = 3 cos ⁡ t ,   y = 2 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π .)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Do teorema de Stokes temos que

∬ ∇ × F ∙ n d σ = ∮ F ∙ d r

Onde C é a curva fechada na base da casca. Esta curva pode ser descrita pela equação paramétrica

r t = 3 cos ⁡ t i + 2 sen ⁡ t j

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π . Neste caso, temos que

d r = d r d t d t = - 3 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j d t

Com isto, a equação paramétrica fica da seguinte forma

F ∙ d r = F ∙ d r d t d t

Logo,

F ∙ d r = 2 sen ⁡ t - 3 sen ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t 2 cos ⁡ t = - 6 sen 2 ⁡ t + 18 cos 3 ⁡ t   d t

Passo 2

Portanto, a integral fica da seguinte forma

∮ F ∙ d r = ∫ 0 2 π - 6 sen 2 ⁡ t + 18 cos 3 ⁡ t   d t

Desenvolvendo os termos

∮ F ∙ d r = - 6 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t + 18 ∫ 0 2 π 1 - sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Resolvendo uma das integrais e já adiantando o passo da outra

∮ F ∙ d r = - 3 t - 1 2 sen ⁡ 2 t 0 2 π + 18 ∫ 0 2 π 1 - sen 2 ⁡ t d sen ⁡ t

Logo, temos o seguinte resultado

∮ F ∙ d r = - 3 2 π + 18 sen ⁡ t 0 2 π - 18 sen 3 ⁡ t 3 0 2 π = - 6 π

Resposta

∬ ∇ × F ∙ n d σ = - 6 π

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