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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 9

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F ∙ d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

F x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k

C é a fronteira de parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 no primeiro octante.

Passo 1

E aiii minha galera fera, tudo bem com vocês!? Vamos nessa então!

Precisamos usa o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha a seguir:

∫ C F ∙ d r

Onde,

F → x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k

C é a fronteira de parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 no primeiro octante.

Vamos pensar em uma estratégia juntos!

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por:

∬ S r o t F → ∙ d S = ∫ C F → ∙ d r →

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

Por definição, o rotacional é representado como:

r o t F → = ∂ R �� y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Onde, F → = P i + Q j + R k .

Assim, temos:

Mas sabemos também se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte fórmula:

∬ S F ∙ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Aqui, vamos tomar cuidado ao substituir os valores de P ,   Q   e   R . Vamos colocar os valores obtidos do rotacional de F .

Sabemos que S faz parte do plano z = 1 - x 2 - y 2 e que D é a projeção da superfície no plano x y . Veja a figura abaixo:

Observe que vai ser mais fácil por esse caminho, basta aplicarmos as derivadas de ∂ g ∂ x   e   ∂ g ∂ y . Depois vamos converter tudo para coordenadas polares, pois temos um círculo no plano x y . Ficando assim:

x 2 + y 2 = 1

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Com,

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Agora vou deixar com vocês os demais passos! É só organizar e aplicar na integral!

Vamos nessa!

Passo 2

Sabemos que o Teorema de Stokes é escrito como:

∬ S r o t F → ∙ d S = ∫ C F → ∙ d r →

Tambem sabemos que F → é:

F → x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k

Onde, F → = P i + Q j + R k .

Logo, vamos ter que:

P = x y

Q = y z

R = z x

E que o rotacional de F → é:

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Aplicando as derivadas, vamos ter que o rotacional vale:

r o t F = 0 - y i + 0 - z j + 0 - x k

r o t F = - y i + - z j + - x k

Assim, a integral fica:

∬ S - y i - z j - x k ∙ d S

Observe que podemos comparar essa integral com a seguinte:

∬ S F ∙ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Assim, concluímos que:

P = - y

Q = - z

R = - x

Passo 3

Sabemos que S faz parte do plano z = 1 - x 2 - y 2 e que D é a projeção da superfície no plano x y . Veja a figura abaixo:

Avaliando nossa região, temos que:

z = g x , y = 1 - x 2 - y 2

Logo, as derivadas vão ser:

∂ g ∂ x = - 2 x

∂ g ∂ y = - 2 y

Substituindo na integral, vamos ter:

∬ S F ∙ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

∬ S F ∙ d S = ∬ D - - y - 2 x - - z - 2 y + - x d A

Simplificando, vamos ter:

∬ S F ∙ d S = ∬ D - 2 x y - 2 y z - x   d A

Substituindo, z = 1 - x 2 - y 2 . Vamos ter

∬ S F ∙ d S = ∬ D - 2 x y - 2 y ( 1 - x 2 - y 2 ) - x   d A

∬ S F ∙ d S = ∬ D - 2 x y - 2 y + 2 y ( x 2 + y 2 ) - x   d A

Como D vai ser a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante.

Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas polares, para facilitar nossa vida!

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Com,

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Assim, nossa integral vai ficar:

∬ S F ∙ d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 - 2 r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ - 2 r sen ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ r 2 - r cos ⁡ θ r d r d θ

∬ S F ∙ d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 - r 3 sin ⁡ 2 θ - 2 r 2 sin ⁡ θ + 2 r 4 sin ⁡ θ - r 2 cos ⁡ θ d r d θ

Passo 4

Agora podemos começar a integrar. Lembrando que começamos de dentro para fora.

Integrando em d r , vamos ter:

∬ S F ∙ d S = ∫ 0 π / 2 - r 4 sin ⁡ 2 θ 4 - 2 r 3 sin ⁡ θ 3 + 2 r 5 sin ⁡ θ 5 - r 3 c o s θ 3 0 1 d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

∬ S F ∙ d S = ∫ 0 π / 2 - sin ⁡ 2 θ 4 - 2 sin ⁡ θ 3 + 2 sin ⁡ θ 5 - c o s θ 3 d θ

Integrando em d θ , ficamos com:

∬ S F ∙ d S = cos ⁡ 2 θ 8 + 2 cos ⁡ θ 3 - 2 cos ⁡ θ 5 - sin ⁡ θ 3 0 π 2

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

∬ S F ∙ d S = - 1 8 + 0 - 0 - 1 3 - 1 8 + 2 3 - 2 5 - 0

Fazendo a soma dos termos, concluímos que pelo teorema de Stokes a integral de linha vale:

∫ C F . d r = - 17 20

Resposta

∫ C F . d r = - 17 20

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