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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-d

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

d )   F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,       σ   é a superfície x 2 + y 2 = 1 ,   0 < z < 1 ,   e   y ≥   0 sendo n → a normal apontando para baixo

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Então o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z y x ² z

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0,0 , 2 x - 1

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

σ :  

x 2 + y 2 = 1

  0 < z < 1

  y ≥   0

Temos um cilindro

Com apenas a parte positiva de y

Vamos calcular o gradiente

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Vamos calcular o gradiente

n → = ( 2 x , 2 y , 0 ) 4 x 2 + 4 y 2 → x , y , 0 x 2 + y 2  

Passo 3

Assim quando fizermos

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Teremos

∫ ∫ σ   0,0 , 2 x - 1 ⋅   x , y , 0 x 2 + y 2   d S

O que é zero, por causa do produto vetorial, o vetores são ortogonais.

∫ ∫ σ   0,0 , 2 x - 1 ⋅   x , y , 0 x 2 + y 2   d S = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

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Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C ( y + z 3 x 2 ) d x + 2 z + 5 x + y 3 d y + 4 y + z cos ⁡ x d
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Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3 Onde C é a fronteira do