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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-b

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

b )   F → x , y , z = y i → - x 2 j → + 5 k → ,       σ u , v = u , v , 1 - u 2 ,     c o m   u ≥ 0 ,   v ≥ 0   e   u + v ≤ 1 , sendo n → a normal apontando para cima

Passo 1

Antes de Começarmos temos que lembrar como é o teorema de Stolkes

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ   F → ⋅ d r →  

OU seja podemos igualar ao fluxo que atravessa uma superfície pelo trabalho da força ao percorrer a borda. Com isso conseguimos reduzir o problema de 2 variáveis, em apenas 1. E lembrando que ainda podemos usar parametrizações para isso. Assim ficamos com ∫ γ   F → ⋅ d r → =   ∫ t 1     t 2 F → γ → t ⋅ γ ' → t   d t  

E com isso conseguimos resolver todos os nossos problemas.

Passo 2

O grande problema são as parametrizações. Porque temos essa superficie

σ u , v = u , v , 1 - u 2 ,

  u ≥ 0

  v ≥ 0  

  u + v ≤ 1 ,

Geometricamente temos

Com a seguinte limitação   u ≥ 0

  v ≥ 0  

  u + v ≤ 1 ,

OU seja ficamos com

A parte interna não hachurada dessa superficie. E temos que parametrizar para ter as curvas nos eixos ortogonais X , Y, além de a curva em preto que fecha nosso contorno

Vamos cair dentro então . Temos que criar 3 parametrizações para essas 3 curvas em preto

c 1   t = t , 0,1 - t 2

c 1 ' = 1,0 , - 2 t

Visto que estamos na parábola

z = 1 - x 2

Já C2 será

c 2 ( t ) = 0 , t , 1

c 2 ' = 0,1 , 0

E por fim o C3

c 3 = t ,   1 - t , 1 - t 2

c 3 ' = 1   , - 1   , - 2 t

Visto que a curva C3 é a interseção de

x + y = 1 → y = 1 - x

z = 1 - x 2

Essa é uma parametrização mais difícil de enxergar. Uma dica é entrar no site do geogebra 3d e ir testando suas hipóteses de parametrização durante os exercícios ate ficar afiado 😉.

Vamos continuar. Temos que nossa função é

F → x , y , z = y , - x 2 ,   5

Agora vamos calcular as integrais de linha

Passo 3

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ C 1   F → ⋅ d r → + ∫ C 2   F → ⋅ d r →   + ∫ C 3   F → ⋅ d r →

=   ∫ 0     1 0 , - t 2 , 5 ⋅ 1,0 , - 2 t   d t + ∫ 1     0 t , 0,5 ⋅ 0,1 , 0 d t + ∫ 1     0 1 - t , - t 2 , 5 ⋅ 1 , - 1 , - 2 t   d t  

= ∫ 0     1 - 10 t - 1 + t - t 2 + 10 t   d t

=   ∫ 0     1 - 1 + t - t 2   d t

=   - 1 + 1 2 - 1 3

=   - 5 6

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   - 5 6

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Seja F x , y , z = e x sin ⁡ y + x x 2 + y 2 ; e x cos ⁡ y + y x 2 + y 2 ;z 2 . Mostre que o valor da integral do campo F ao longo de qualquer curva fechada C que não intercepte o eixo z é zero.
Determine ∫ C Fd r onde F x , y , z = y z + x 3 ; x z + 3 y 2 ; x y + 4 e C é a curva obtida como intersecção das superfícies de equações z = 5 - y 2 , z ≥ 1 e x + z = 5 , orientada no sentido de cres
Calcule ∬ S r o tF ⋅ n d s , onde F x , y , z = ( y , 2 x , x y z ) e S é a superfície lateral da pirâmide da figura 7.24 com normal n exterior a S .
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C yd x + z d y + x d z = - 2 π 2 Onde C é a curva obtida como i