(a) Encontre um intervalo [a, b] no qual

f(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x - 2

Satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle.

(b) Gere o gráfico de f'(x) e use-o para fazer estimativas de todos os valores de c obtidos em (a) que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle.

(c) Use o Método de Newton para melhoras as estimativas obtidas em (b).

Passo 1

(a) Bom, para acharmos um intervalo, temos que satisfazer as hipóteses do teorema em que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Nossa função é contínua para todo o conjunto dos reais e também é diferenciável no mesmo conjunto, já que f ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1 .

Então, vamos só encontrar dois pontos em que a função possua o mesmo valor! Já que, como ela satisfaz as hipóteses em qualquer valor de x , podemos pegar qualquer intervalo nessa função.

Vamos testar o valor de x = 1 :

f 1 = 0

Se a gente pegar x = 2 :

f 2 = 20

Hm, cresceu demais, vamos ver os valores menores que 1 , então. x = - 1 :

f - 1 = - 4

x = - 2 :

f - 2 = 0

Opa, e não é que f 1 = f ( - 2 ) ? Então, esse pode ser nosso intervalo:

- 2 ,   1

Passo 2

(b) Aqui, queremos estimar onde a derivada é zero, usando o gráfico dela.

O gráfico da derivada é:

Dá para ver ali que a derivada é zero em, aproximadamente, x = - 1,29 . Então, esse é o nosso cara!

c ≈ - 1,29

Passo 3

(c) Então, vamos usar o método de Newton para chegar em um resultado melhor que o da (b).

Queremos que:

f ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1 = 0

f ' ' x = 12 x 2 + 6 x - 2

E vemos, no gráfico, que esse valor está próximo de x = - 1,29 , logo ele será nosso x 1 . Vamos achar os próximos valores e ver para onde converge:

x 2 = x 1 - f ' x 1 f ' ' x 1 = x 2 = - 1,29 - f ' - 1,29 f ' ' - 1,29

x 2 = - 1,29 - - 0,014456 102292 = - 1,28858679

Continuando o método:

x 3 = - 1,28858 434

x 4 = - 1,28858434

Opa, devido à repetição dos valores, vemos que x = - 1,28858434 é uma aproximação para o valor que queremos.

Resposta

(a) [ - 2,1 ]

(b) c ≈ - 1,29

(c) x = - 1,2885843 4

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