Use o Teorema do Valor Médio para provar que :
Passo 1
Vamos começar aplicando o Teorema do Valor Médio. Onde
Existe um ponto de tal que:
O exercício nos fornece que é real e positivo.
Agora, devemos derivar a nossa função, que pela derivação de funções trigonométricas inversas pode ser dada por:
Queremos calcular tudo em função de :
Dessa forma:
Igualando os termos:
Vamos aplicar essa fórmula nos intervalos propostos.
Passo 2
Primeiro, o exercício pede que provemos que :
Vamos analisar então o intervalo onde , e esse conjunto como parte :
Substituindo por x:
Dessa forma:
Passo 3
Agora, vamos provar que , se:
Colocando na inequação :
Dessa forma, concluímos que :
Assim, provamos que:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 5
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.f(x) = raiz(x) - 1/3 x [0,9]
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.f(x) = x^2 - 4x + 1, [0,4]
Suponha que a função f seja contínua em [a, b] e f'(x) = 1 para todo x em (a, b) . Prove que f(x) = x - a + f(a) para todo x em [a, b] .
Se f(x) = sen^2(x) + cos^2(x) , use o Teorema 4.3.3 pra mostrar que f(x) = 1 para todo x em [-2 * pi, 2 * pi] .