Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 33
Use o Teorema do Valor Médio para provar que :
Passo 1
Vamos começar aplicando o Teorema do Valor Médio. Onde
Existe um ponto de tal que:
O exercício nos fornece que é real e positivo.
Agora, devemos derivar a nossa função, que pela derivação de funções trigonométricas inversas pode ser dada por:
Queremos calcular tudo em função de :
Dessa forma:
Igualando os termos:
Vamos aplicar essa fórmula nos intervalos propostos.
Passo 2
Primeiro, o exercício pede que provemos que :
Vamos analisar então o intervalo onde , e esse conjunto como parte :
Substituindo por x:
Dessa forma:
Passo 3
Agora, vamos provar que , se:
Colocando na inequação :
Dessa forma, concluímos que :
Assim, provamos que:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 5
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f ( x ) = x - 1 3 x , [ 0,9
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = x 2 - 4 x + 1 , [ 0,4
Suponha que a função f seja contínua em [ a ,b ] e f ' x = 1 para todo x em ( a ,b ) . Prove que f x = x - a + f ( a ) para todo x em [ a ,b ] .
Se f x = s e n 2 x + cos 2 x , use o Teorema 4.3.3 pra mostrar que f x = 1 para todo x em [ - 2 π ,2 π ] .