Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 33
Use o Teorema do Valor Médio para provar que :
Passo 1
Vamos começar aplicando o Teorema do Valor Médio. Onde
Existe um ponto de tal que:
O exercício nos fornece que é real e positivo.
Agora, devemos derivar a nossa função, que pela derivação de funções trigonométricas inversas pode ser dada por:
Queremos calcular tudo em função de :
Dessa forma:
Igualando os termos:
Vamos aplicar essa fórmula nos intervalos propostos.
Passo 2
Primeiro, o exercício pede que provemos que :
Vamos analisar então o intervalo onde , e esse conjunto como parte :
Substituindo por x:
Dessa forma:
Passo 3
Agora, vamos provar que , se:
Colocando na inequação :
Dessa forma, concluímos que :
Assim, provamos que:
Resposta
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