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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 25

Localize os pontos críticos e identifique quais deles correspondem a pontos estacionários:

  1. f x = x x 2 + 2
  2. f x = x 2 - 3 x 2 + 1  

Passo 1

  1. Vamos derivar a função:

    2. f x = x x 2 + 2

    Derivamos calculamos a derivada pela regra do quociente :

    f '   x = 1 x 2 + 2 - 2 x . x ( x 2 + 2   ) 2 = 2 - x 2 ( x 2 + 2   ) 2

    Esmos procurando o ponto onde :

    f '   x = 2 - x 2 ( x 2 + 2   ) 2 = 0

    Para isso, encontramos a raiz da primeira derivada:

    2 - x 2 ( x 2 + 2   ) 2 = 0

    Resolvendo :

    2 - x 2 = 0

    x 2 = 2

    x = ±   2

    Portanto, as raízes onde f '   x = 0 são : x = ±   2 . Esses são os pontos críticos e também estacionários (onde a raíz é definida na função).

    Passo 2

  2. Vamos derivar a função:

f x = x 2 - 3 x 2 + 1  

Derivamos aplicando a regra do quociente :

f '   x = 2 x x 2 + 1 - 2 x ( x 2 - 3 ) ( x 2 + 1 ) 2 = 2 x 3 + 2 x - 2 x 3 + 6 x ( x 2 + 1 ) 2 = 8 x ( x 2 + 1 ) 2

Também pode ser lido como:

f '   x = 8 x ( x 2 + 1 ) 2

Esmos procurando o ponto onde :

f '   x = 8 x ( x 2 + 1 ) 2 = 0

A raíz será com :

8 x = 0

x = 0

Portanto, as raízes onde f '   x = 0 são : x = 0 . Esses são os pontos críticos e também estacionários (onde a raíz é definida na função).

Resposta

(a)   x = ±   2

(b) x = 0

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