Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Passo 1

Vamos lá pessoal, para mais uma questão de teste da integral. O teste da integral é um teste de consenso entre uma série e a integral imprópria. De modo que se a integral converge a série também convergirá. E se a integral diverge? Ora, então a série também diverge.Só é necessário antes certificar-se que a função associada à série seja decrescente, positiva e contínua.

Passo 2

Então vamos lá:Se:

a n = 1 n 4

É o termo mais geral da série, então criaremos uma função associada à serie que será:

f x = 1 x 4

Sabemos que a única singularidade dessa função é quando o denominador for   0 . Ou seja, não está dentro do nosso domínio que inicia em n = 1 .Está claro que não há nenhum termo negativo e, portanto, a função é positiva.Pode-se perceber também que o valor de f ( x ) é inverssalmente proporcial ao valor de x . Tornando assim nossa função decrescente.

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva.

Passo 3

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1 x 4 d x

Calcular essa integral imprópria exige que calculemos o limite da integral com o valor de t → ∞

∫ 1 ∞ 1 x 4 d x =   lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 4 d x

Simples né? Agora vamos calcular a integral normalmente.

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ x 3 4 3 4 1 t

Simplificando:

lim t → ∞ ⁡ 4 3 t 3 4 - 4 3

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ 4 3 t 3 4 - 4 3 =   ∞ - 4 3 = ∞

Opa! A nossa integral imprópria divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 4   é divergente

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