Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 4
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá pessoal, para mais uma questão de teste da integral. O teste da integral é um teste de consenso entre uma série e a integral imprópria. De modo que se a integral converge a série também convergirá. E se a integral diverge? Ora, então a série também diverge.Só é necessário antes certificar-se que a função associada à série seja decrescente, positiva e contínua.
Passo 2
Então vamos lá:Se:
É o termo mais geral da série, então criaremos uma função associada à serie que será:
Sabemos que a única singularidade dessa função é quando o denominador for . Ou seja, não está dentro do nosso domínio que inicia em .Está claro que não há nenhum termo negativo e, portanto, a função é positiva.Pode-se perceber também que o valor de é inverssalmente proporcial ao valor de . Tornando assim nossa função decrescente.
Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva.
Passo 3
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Calcular essa integral imprópria exige que calculemos o limite da integral com o valor de
Simples né? Agora vamos calcular a integral normalmente.
Simplificando:
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite:
Opa! A nossa integral imprópria divergiu!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!