Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 17
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
E aí, pessoal? Tranquilos?
Precisamos aqui achar se nossa série abaixo converge ou diverge:
Você já deve ter visto a essa altura que temos vários métodos para determinar convergência ou divergência de uma série, mas aqui o próprio enunciado já trouxe o método que precisamos usar. Bom, o teste da razão é basicamente o cálculo desse limite abaixo e observação do seu valor :
Sendo a sequência da série que estamos procurando a convergência. Se , a série diverge, mas se , ela vai convergir.
Bora achar esse limite!
Passo 2
Aqui vamos ter:
E para encontrar é só substituirmos nosso por :
Usando essas expressões no nosso limite ficamos com:
Passo 3
Bora simplificar nosso limite. Vamos reescrever só o cosseno do denominador e abrir numa soma de frações de mesmo denominador:
Usando a propriedade trigonométrica:
Como:
E:
Ficamos com:
Al��m disso sabemos que os termos que têm , são sempre multiplicadas por , então sempre serão múltiplos de , ou seja, a única coisa que mudará entre eles é o sinal, mas como o teste da razão aplica o módulo, os valores sempre serão positivos, assim:
Juntando tudo e depois simplificando:
Passo 4
Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação do tipo , vamos abrir uma vez o fatorial do denominador:
E depois simplificamos :
Passo 5
Agora sim podemos aplicar o limite, como só tem no denominador, a razão tende para zero e:
Que é menor que 1, então a série é absolutamente convergente.