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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 12

Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é o Teste da Raiz. No caso, vamos calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1

Vamos assumir que

a n = ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1

Logo:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1 n

Podemos aplicar aqui uma regrinha do Limite:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e 2 + 1 n n + 1 n = ln ⁡ e 2 + 1 n lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

ln ⁡ e 2 + 1 n lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = ln ⁡ e 2 + 0 1 = 2

Portanto, podemos concluir que a nossa série diverge.

Resposta

D i v e r g e .

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