Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 23
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
23.
Passo 1
E aí galera, tudo bem?
Para resolver essa parada, vamos utilizar o Teste da Razão para analisar a convergência da série.
O teste da Razão é uma técnica que nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita. Ele nos diz que:
- Se , então a série converge.
- Se , então a série diverge.
Para começar, precisamos definir o termo , que representa o próximo termo da sequência. Então, temos:
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão:
Usando a sequência da série que escrevemos, vamos ficar com o seguinte limite:
Passo 2
Invertendo o denominador para fazer o produto:
Vamos simplificar os termos iguais no numerador e no denominador:
Tirando do módulo não muda nada, porque todos os termos são positivos:
Passo 3
Se tentarmos aplicar o limite, teremos uma indeterminação , então vamos abrir o fatorial no denominador para simplificarmos o :
Ainda assim, teremos uma indeterminação, vamos então colocar o em evidência no denominador e no numerador para podermos escapar dela:
Passo 4
Agora sim a gente aplica o limite, os termos tenderão para zero, sobrando só:
Que é maior que 1, portanto, a nossa série é divergente.