Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 43
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Como funcionam as séries telescópicas?
Em geral as séries telescópicas tem uma multiplicação no denominador na fração que quando expandimos em duas frações conseguimos achar um padrão onde vários termos se cancelam e a soma se reduz a alguns termos.
Neste caso a multiplicação veio escondida, mas podemos ver que no denominador temos uma diferença de quadrados, e podemos substituir , então nossa série fica assim
Passo 2
Agora precisamos mudar a cara deste termo, para isso vamos expandir sua fração
Precisamos achar o valor de e , então vamos fazer o MMC
E sabemos que
Então temos que
Distribuindo as multiplicações
Colocando em evidencia
E agora, por igualdade de polinômios chegamos no sistema
Da primeira equação podemos tirar que
Substituindo na segunda
Voltando ao
Então nosso termo geral tem a cara
Logo nossa série
Passo 3
Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o
Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos as primeiras frações dos dois primeiros termos e as segundas dos dois últimos, então nossa soma se reduz a
Passo 4
Para descobrir a soma, basta aplicar o limite
Logo