Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 12

Use the Divergence Theorem to calculate the surface integral   ∫ ∫ F     d S ; that is, calculate the flux of F across S

F x ,   y ,   z =   x y + 2 x z i + x 3 +   y 2   j + x y - z 2   k , S is the surface of the solid bounded by the x 2 +   y 2 = 4   and the plane z = y - 2 and z = 0

Passo 1

Oieeeeee, nesse exercício precisamos calcular o fluxo de F através de S , sabemos que:

F x ,   y ,   z =   x y + 2 x z i + x 3 +   y 2   j + x y - z 2   k

e

S é a superfície sólida limitada por x 2 +   y 2 = 4 e z = y - 2 and z = 0 .

Bora usar o teorema de Gauss que diz que:

∫ ∫ S F • d S =   ∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

O fluxo através de uma superfície é igual ao Divergente da nossa função através do volume

Logo , sabemos que o divergente é calculado por:

∇ .   F = d d x + d d y + d d z F

Vamos então achar o divergente e depois devemos encontrar quem é d V .

Feito isso, iremos analisar nossos limites de integração e resolver a integral. Vamos lá?

Passo 2

Para nos será mais fácil trabalhar com a parte em 3 dimensões

∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

Calcular o divergente é fácil, basta derivarmos parcialmente nossa função vetorial e somar

∇ .   F = d d x + d d y + d d z F

Então vamos calcular isso para

F x ,   y ,   z =   x y + 2 x z i + x 3 +   y 2   j + x y - z 2   k

Logo:

d d x x y + 2 x z = y + 2 z

d d y ( x 3 +   y 2 ) = 2 y 2

d d z (   x y - z 2 ) = - 2 z

Somando os resultados:

∇ .   F = y + 2 z + 2 y 2 + 2 z

∇ .   F = 3 y

Substituindo na integral:

∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

Logo:

∫ ∫ ∫ 3   y d V

Passo 3

Vamos calcular essa integral

∫ ∫ ∫ 3 y d V

O volume é de um cilindro.

Já que nossa região é circular, trabalhar em coordenadas polares será de grande ajuda. Então vamos trocar de nosso sistema de x , y , z → r , θ , z . E como a forma como medimos o espaço vai mudar, vamos ter que adicionar um fator de correção espacial – O jacobiano. O jacobiano de Polares é já tabelado – Multiplicamos por r .

Vamos usar a seguinte relação para trocar de variáveis

x 2 + y 2 = r 2

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ  

Então vamos lá \o/

Nossos limites de integração variam assim , z cresce de 0 até o plano z = y - 2 .O ângulo θ dá uma volta completa então vai de [ 0,2 π ] e r cresce de [ 0,2 ] .

Prontinho montamos todos os nossos limites:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 r s e n   θ - 2   3 r s e n   θ r d z d r d θ

Passo 4

Vamos calcular:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 r s e n   θ - 2   3 r s e n   θ r d z d r d θ

Começando por:

∫ 0 r s e n   θ - 2   3 r s e n   θ r d z

Como não temos nada para integrar de z temos que:

∫ 0 r s e n   θ - 2   3 r s e n   θ r d z = r 2 s e n   θ r s e n θ - 2

Substituindo na integral:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 s e n   θ r s e n θ - 2 d r d θ

Vamos dar uma ajeitadinha:

  3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 s e n 2 θ - 2 r 2 s e n θ   d r d θ

Assim, resolvendo:

∫ 0 2 r 3 s e n 2 θ - 2 r 2 s e n θ   d r

r 4 4 s e n 2 θ - 2 r 3 3 s e n θ   0 2  

Substituindo os limites de integração:

4 s e n 2 θ - 16 3 s e n θ        

Logo, substituindo na integral:

  3 ∫ 0 2 π 4 s e n 2 θ - 16 3 s e n θ     d θ

Logo:

  3       2 θ - 1 2 s e n 2 θ + 16 3 c o s   θ   | 0 2 π

Substituindo os limites de integração:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 r s e n   θ - 2   3 r s e n   θ r d z d r d θ = 12 π

Uma dica, a integral de seno e cosseno no intervalo de um ciclo completo 0,2 π   ou   [ 0,4 π ] , vai ser sempre zero. Afinal estamos calculando áreas e senos e cossenos depois de um ciclo completo tem metade da área do lado positivo do gráfico e metade do lado negativo, assim eles se anulam. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S F * d S = 12 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade v → dada. Verificar se v → representa um possível fluxo incompressível. v → = 2i → + xj → -k →
Dado o campo vetorial vec f , calcular d i v vec f .vec f (x , y , z) = ln x y vec i + x vec j + z vec k
Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade v → dada. Verificar se v → representa um possível fluxo incompressível. v → = 2 x yi → + xj →
Supondo que v → representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se v → representa um possível fluido incompressível.d) v → x , y = - y , x
Seja vec u = (x^2 - y^2) * grad f . Calcular div vec u no ponto P ( 1 , 2,3 ) sendo:b) f = x y z + 2 x y