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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 2b

Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade v → dada. Verificar se v → representa um possível fluxo incompressível.

v → = 2   i → + x   j → -   k →

Passo 1

Queremos analisar se um fluido escoa com fluxo incompressível. Como vimos na teoria, o que caracteriza um fluxo incompressível é justamente o d i v da expressão da velocidade do fluido! Se o d i v   for 0 , então é fluxo é incompressível, caso contrário, não é, beleza? Então vamos calcular isso! Bom, a gente conhece direitinho a expressão da divergência.

Para uma velocidade v → :

v → x ,   y ,   z = v 1 x ,   y ,   z   i → + v 2 x ,   y ,   z   j → + v 3 x ,   y ,   z   k →

A divergência desse campo vai ser:

d i v   v → = ∂ v 1 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y + ∂ v 3 ∂ z

Passo 2

Bora lá! A velocidade nessa questão é:

v → = 2   i → + x   j → -   k →

Então,

v 1 = 2

v 2 = x

v 3 = - 1

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ v 1 ∂ x = ∂ ( 2 ) ∂ x = 0

∂ v 2 ∂ y = ∂ ( x ) ∂ y = 0

∂ v 3 ∂ z = ∂ ( - 1 ) ∂ z = 0

Passo 3

Juntando tudo:

d i v   v → = ∂ v 1 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y + ∂ v 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   v → = 0

Como a divergência da velocidade deu igual a zero, o fluxo é incompressível!

Resposta

O fluxo é incompressível.

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