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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 11

Use the Divergence Theorem to calculate the surface integral   ∫ ∫ F     d S ; that is, calculate the flux of F across S

F x ,   y ,   z =   2 x 3   +   y 3 i + y 3 +   z 3   j +   3 y 2 z   k , S is the surface of the solid bounded by the paraboloide z =   1 -   x 2 -   y 2   and the xy-plane

Passo 1

Fala ai galera nesse exercício precisamos calcular o fluxo de F através de S , sabemos que:

F x ,   y ,   z =   2 x 3   +   y 3 i + y 3 +   z 3   j +   3 y 2 z   k

e

S é a superfície sólida limitada pelo parabolóide z =   1 -   x 2 -   y 2 e o plano xy.

Para resolver iremos utilizar teorema de Gauss que diz que:

∫ ∫ S F • d S =   ∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

O fluxo através de uma superfície é igual ao Divergente da nossa função através do volume

Logo , sabemos que o divergente é calculado por:

∇ .   F = d d x + d d y + d d z F

Então o primeiro passo será esse. Depois de encontrar o divergente devemos encontrar quem é d V .

Feito isso, iremos analisar nossos limites de integração e resolver a integral. Vamos lá?

Passo 2

Para nós será mais fácil trabalhar com a parte em 3 dimensões

∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

Calcular o divergente é fácil, basta derivarmos parcialmente nossa função vetorial e somar

∇ .   F = d d x + d d y + d d z F

Então vamos calcular as derivadas parciais sabendo que:

F x ,   y ,   z =   2 x 3   +   y 3 i + y 3 +   z 3   j +   3 y 2 z   k

Logo:

d d x ( 2 x 3   +   y 3 ) = 6 x 2

d d y ( y 3 +   z 3 ) = 3 y 2

d d z (   3 y 2 z ) = 3 y 2

Somando os resultados:

∇ .   F = 6 x 2 + 3 y 2 + 3   y 2

∇ .   F = 6 (   x 2 + y 2   )

Substituindo na integral:

∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

Logo:

∫ ∫ ∫ 6 (   x 2 + y 2   ) d V

Passo 3

Vamos agora identificar d V :

∫ ∫ ��� 6 (   x 2 + y 2   ) d V

O volume é de um parabólico circular.

Então vamos precisar sermos sagazes aqui. Já que nossa região é circular, trabalhar em coordenadas polares será de grande ajuda.

Vamos trocar de nosso sistema de x , y , z → r , θ , z . E como a forma como medimos o espaço vai mudar, vamos ter que adicionar um fator de correção espacial – O jacobiano.

O jacobiano de Polares é já tabelado – Multiplicamos por r .

Vamos usar a seguinte relação para trocar de variáveis

x 2 + y 2 = r 2

Nossos limites de integração variam assim , z cresce de 0 até o topo do parabolóide 1 - x 2 - y 2 que em polares fica 1 - r 2 . O ângulo θ dá uma volta completa então vai de [ 0,2 π ] e r cresce de [ 0,1 ] .

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 6 r 2 r d z d r d θ

Passo 4

Prontinho montamos todos os nossos limites vamos calcular:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 6 r 3 d z d r d θ

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 1 - r 2 6 r 3 d z

Logo:

  6 * 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 r 3 d z d r

Resolvendo:

∫ 0 1 - r 2 r 3 d z

∫ 0 1 - r 2 r 3 d z = r 3 1 - r 2

Substituindo em:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 6 r 3 d z d r d θ

Logo:

12 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 1 - r 2   d r d θ

Opa, vamos fazer a distributiva de r 3 :

12 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 - r 5     d r d θ

Resolvendo:

  ∫ 0 1 r 3 - r 5   d r

12 π r 4 4 - r 6 6 | 0 1

12 π 1 4 - 1 6  

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 6 r 2 r d z d r d θ = π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S F * d S = π

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