Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 11
Use the Divergence Theorem to calculate the surface integral ; that is, calculate the flux of F across S
S is the surface of the solid bounded by the paraboloide and the xy-plane
Passo 1
Temos em mãos um problema de fluxo. E para isso podemos usar o teorema de Gauss
O fluxo através de uma superfície é igual ao Divergente da nossa função através do volume
Passo 2
Para nos será mais fácil trabalhar com a parte em 3 dimensões
Calcular o divergente é fácil, basta derivarmos parcialmente nossa função vetorial e somar
Então vamos calcular isso para
Passo 3
Vamos calcular essa integral
O volume é de um paraboloide circular. Então vamos precisar sermos sagazes aqui. Já que nossa região é circular, trabalhar em coordenadas polares será de grande ajuda. Então vamos trocar de nosso sistema de . E como a forma como medimos o espaço vai mudar, vamos ter que adicionar um fator de correção espacial – O jacobiano. O jacobiano de Polares é já tabelado – Multiplicamos por .
Vamos usar a seguinte relação para trocar de variáveis
Então vamos la \o/
Nossos limites de integração variam assim , z cresce de 0 até o topo do paraboloide que em polares fica . O ângulo da uma volta completa então vai de e r cresce de . Prontinho montamos todos os nossos limites vamos calcular
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )