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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 1d

Dado o campo vetorial vec f , calcular d i v vec f .

vec f (x , y , z) = ln x y vec i + x vec j + z vec k

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial vec f dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo vec f :

vec f (x , y , z) = f_1 (x , y , z) vec i + f_2 (x , y , z) vec j + f_3 (x , y , z) vec k

A divergência desse campo vai ser:

d i v vec f = (del f_1)/(del x) + (del f_2)/(del y) + (del f_3)/(del z)

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

vec f (x , y , z) = ln x y vec i + x vec j + z vec k

Então,

f_1 = ln x y

f_2 = x

f_3 = z

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

(del f_1)/(del x) = (del ( ln x y ))/(del x) = (1)/(x y) xx y = (1)/(x)

(del f_2)/(del y) = (del ( x ))/(del y) = 0

(del f_3)/(del z) = (del ( z ))/(del z) = 1

Passo 3

Juntando tudo:

d i v vec f = (del f_1)/(del x) + (del f_2)/(del y) + (del f_3)/(del z)

Substituindo,

d i v vec f = (1)/(x) + 1

Fechou!

Resposta

d i v vec f = (1)/(x) + 1

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