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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 8b

Seja vec u = (x^2 - y^2) * grad f . Calcular div vec u no ponto P ( 1 , 2,3 ) sendo:

b) f = x y z + 2 x y

Passo 1

Queremos encontrar div vec u , para isso, sabemos que pela propriedade 6.7 . 3 b

div (h vec f) = h div vec f + grad h * vec f

Ou seja:

div vec u = div (h vec f) = div (h grad f) = h div grad f + grad h * grad f

div vec u = h div grad f + grad h * grad f (1)

Passo 2

Pela expressão (2) que encontramos, precisamos calcular o gradiente de f .

O gradiente de f é o seguinte:

grad f = ((del (f))/(del x)) vec i + ((del (f))/(del y)) vec j + ((del (f))/(del z)) vec k

grad f = ((del (x y z + 2 x y))/(del x)) vec i + ((del (x y z + 2 x y))/(del y)) vec j + ((del (x y z + 2 x y))/(del z)) vec k

grad f = (y z + 2 y) vec i + (x z + 2 x) vec j + (x y) vec k

vec f = (y z + 2 y) vec i + (x z + 2 x) vec j + (x y) vec k

Vamos também precisar do gradiente de h = (x^2 - y^2) .

O gradiente de f é o seguinte:

grad h = ((del (h))/(del x)) vec i + ((del (h))/(del y)) vec j + ((del (h))/(del z)) vec k

grad h = ((del (x^2 - y^2))/(del x)) vec i + ((del (x^2 - y^2))/(del y)) vec j + ((del (x^2 - y^2))/(del z)) vec k

grad h = (2 x) vec i + (- 2 y) vec j + (0) vec k

vec h = (2 x) vec i + (- 2 y) vec j + (0) vec k

Passo 3

Também precisamos calcular div grad f .

div vec f = (del f_1)/(del x) + (del f_2)/(del y) + (del f_3)/(del z)

Aplicando a formula cima em vec f temos:

vec f = (y z + 2 y) vec i + (x z + 2 x) vec j + (x y) vec k

div vec f = (del)/(del x) (y z + 2 y) + (del)/(del y) (x z + 2 x) + (del)/(del z) (x y)

div vec f = (0 + 0) + (0 + 0) + (0)

div vec f = 0

Passo 4

Podemos substituir div vec f , grad f e grad h em (1) para encontrar div vec u . Então basta fazermos o seguinte:

div vec u = h div grad f + grad h * grad f

div vec u = (x^2 - y^2) * 0 + [(2 x) vec i + (- 2 y) vec j + (0) vec k] * [(y z + 2 y) vec i + (x z + 2 x) vec j + (x y) vec k]

div vec u = [(2 x y z + 4 x y) cos 0 + (- 2 x y z - 4 x y) cos 0 + (0) cos 0]

div vec u = (2 x y z + 4 x y) 1 + (- 2 x y z - 4 x y) 1 + (0) 1

div vec u = 2 x y z + 4 x y - 2 x y z - 4 x y

div vec u = 0

Passo 5

Como div vec u encontrado é 0 , isso significa que independentemente do ponto ele será zero. Para o ponto P ( 1 , 2,3 ) .

div vec u = 0

Resposta

div vec u = 0

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