Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura k(x) . Esse é o gráfico que você esperava?

y = x * e^(-x)

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

A questão quer que a gente faça um gráfico da função dada e de sua função curvatura.

Então, para fazer isso vamos precisar obter a função curvatura, que é dada pela equação:

k x = y ' ' x 1 + y ' 2 3 / 2

Assim, o primeiro passo é encontrarmos as primeiras derivadas da função y = x e - x , para depois utilizarmos a equação acima.

Uma vez obtida a função y = k ( x ) , vamos plotar os dois gráficos.

Vamos lá...

Passo 2

A derivada primeira é dada por:

y ' = e - x ( 1 - x )

E a derivada segunda:

y ' ' = e - x ( x - 2 )

Assim,

Aplicando k x :

k x = y ' ' x 1 + y ' 2 3 / 2 = e - x x - 2 1 + e - x ( 1 - x ) 2 3 / 2

⇒ k x = e - x | x - 2 | 1 + e - 2 x ( 1 - x ) 2 3 / 2

Passo 3

O gráfico de a curvatura aqui é o que esperaríamos.

O gráfico de x e - x está dobrando um pouco mais acentuadamente a direita da origem.

Como x → ∞ , o gráfico de x e - x é assintótico ao e i x o - x e então a curvatura se aproxima de zero.

Resposta

O gráfico de a curvatura aqui é o que esperaríamos. Como x → ∞ , o gráfico de x e - x é assintótico ao e i x o - x e então a curvatura se aproxima de zero.

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