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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 8

Utilize o computador para traçar o gráfico da curva com equações paramétricas x = c o s , y = sen ⁡ 3 t , z = sen ⁡ t . Determine o comprimento total da curva com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Olá, meu querido estudante. Vou resolver essa atividade com você.

Temos a curva parametrizada dada por:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ 3 t

z = sin ⁡ t

E precisamos utilizar um software para traçar o gráfico dessa curva. Aqui a gente irá utilizar o Desmos, por ser online.

Já para encontrarmos o comprimento total da curva, deveremos utilizar então a fórmula:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Passo 2

Então para criarmos a figura iremos fazer o seguinte, no site do desmos 3D iremos inserir:

E com isso iremos gerar a figura:

Assim, vamos calcular, primeiro, as derivadas:

d x d t = - sen ⁡ t

d y d t = 3 cos ⁡ 3 t

d z d t = cos ⁡ t

Assim

L = ∫ 0 2 π - sen ⁡ t 2 + 3 cos ⁡ 3 t 2 + cos ⁡ t 2 d t

Utilizando a identidade trigonométrica fundamental para simplificar, e uma calculadora cientifica para resolver e essa integral:

L = ∫ 0 2 π 1 + 9 cos 2 ⁡ 3 t d t ≈ 13.9744

Resposta

L ≈ 13.9744

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