Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

r(t) = 〈 t, cos(2t), sin(2t) 〉

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... Queremos esboçar o gráfico da seguinte função paramétrica, mostrando a direção em que o parâmetro cresce:

r t =   t , cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t

Para isso, precisamos primeiro definir quem são x , y e z com relação ao parâmetro t .

Em seguida, deveremos procurar uma relação que envolva pelo menos duas dessas variáveis para que torne mais simples a nossa plotagem.

Sei que é uma sugestão bem ampla, mas já já você vai entender!! 😉

Por fim, iremos indicar com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

Para isso, basta aplicarmos alguns valores de t em uma determinada ordem (preferencialmente crescente) e analisar como a curva se comporta!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Se r t =   t , cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t   , então:

x = t

y = cos ⁡ 2 t

z = s e n ( 2 t )

Agora vamos procurar alguma relação que envolva essas variáveis.

Lembra que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ??

Isso quer dizer que y e z se comportam como uma circunferência. E, como x = t , no plano tridimensional a gente vai ter um cilindro!!!

Quer entender melhor? Se liga aqui embaixo:

Vamos calcular y 2 + z 2 para entender melhor o gráfico:

y 2 + z 2 = cos 2 ⁡ ( 2 t ) + s e n 2 2 t = 1

Então a curva paramétrica está “presa” no cilindro y 2 + z 2 = 1 .

Passo 3

Levamos em consideração o valor:

x = t

Vemos que a curva gira em relação ao eixo x linearmente ao redor do cilindro. É uma hélice!!

Assim, aqui a gente nem vai precisar analisar os valores de t , sabe por quê?

Porque olhe só... na medida que aumentamos t , x aumenta na mesma proporção!!!

Dessa forma, temos a nossa figura:

Resposta

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Utilize o teorema 10 para encontrar a curvatura.r(t) = t^3 * j + t^2 * k
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.y = tg(x)
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.y = x^4
Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura.x = a * cos(ω t) , y = b * sen(ωt)
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t) (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.r(t) = 〈 t, 1/2, t^2, t^2 〉