Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 73

Utilize a definição de e i θ para mostrar que, para quaisquer números reais θ ,   θ 1 e θ 2 ,

a. e i θ 1 e i θ 2 = e i ( θ 1 +   θ 2 ) , b. e - i θ   =   1 / e i θ .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

Nessa questão, temos que mostrar as identidades pedidas usando

e i θ = c o s θ + i s e n   θ

Preparados? Então, vamos lá!

Passo 2

a. Temos

e i θ 1 = c o s θ 1 + i s e n   θ 1

e

e i θ 2 = c o s θ 2 + i s e n   θ 2

Multiplicando essas duas expressões, ficamos com

e i θ 1 e i θ 2   = c o s θ 1 + i s e n   θ 1 c o s θ 2 + i s e n   θ 2  

⇒ e i θ 1 e i θ 2   = c o s θ 1 c o s θ 2   + i s e n   θ 1   c o s θ 2 + i c o s θ 1 s e n   θ 2 - s e n   θ 1 s e n   θ 2  

⇒ e i θ 1 e i θ 2   = c o s θ 1 c o s θ 2   - s e n   θ 1 s e n   θ 2 + i s e n   θ 1   c o s θ 2 + c o s θ 1 s e n   θ 2  

No primeiro parênteses temos o cosseno da soma de dois ângulos e no segundo temos o seno da soma. Assim,

⇒ e i θ 1 e i θ 2   = c o s ( θ 1 + θ 2 ) + i s e n ( θ 1 + θ 2 )   =   e i ( θ 1   +   θ 2 )

Beleza? Então, bora para a próxima.

Passo 3

b. Agora, vamos usar

e - i θ = c o s ( - θ ) + i s e n   ( -   θ )   =   c o s   ( θ )   - i s e n ( θ )

Por outro lado,

  1 e i θ = 1 c o s θ + i s e n   θ = 1 c o s θ + i s e n   θ c o s θ - i s e n   θ c o s θ - i s e n   θ

⇒   1 e i θ = c o s θ   -   i s e n   θ c o s 2 θ   +   s e n 2   θ = c o s θ - i s e n   θ   =   e - i θ

Então, vemos que tanto 1 e i θ quanto e - i θ resultam em c o s θ - i s e n   θ , então eles devem ser iguais. Muito legal, não é mesmo?

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.12. x 2 , x 0 = - 1
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.9. sen ⁡ x , x 0 = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.13. ln ⁡ x , x 0 = 1
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg