Utilize a definição de e^(iθ) para mostrar que, para quaisquer números reais θ, θ1 e θ₂ ,

a. e^(iθ1) * e^(iθ2) = e^(i(θ1 + θ2)) , b. e^(-iθ) = 1 / e^(iθ) .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

Nessa questão, temos que mostrar as identidades pedidas usando

e i θ = c o s θ + i s e n   θ

Preparados? Então, vamos lá!

Passo 2

a. Temos

e i θ 1 = c o s θ 1 + i s e n   θ 1

e

e i θ 2 = c o s θ 2 + i s e n   θ 2

Multiplicando essas duas expressões, ficamos com

e i θ 1 e i θ 2   = c o s θ 1 + i s e n   θ 1 c o s θ 2 + i s e n   θ 2  

⇒ e i θ 1 e i θ 2   = c o s θ 1 c o s θ 2   + i s e n   θ 1   c o s θ 2 + i c o s θ 1 s e n   θ 2 - s e n   θ 1 s e n   θ 2  

⇒ e i θ 1 e i θ 2   = c o s θ 1 c o s θ 2   - s e n   θ 1 s e n   θ 2 + i s e n   θ 1   c o s θ 2 + c o s θ 1 s e n   θ 2  

No primeiro parênteses temos o cosseno da soma de dois ângulos e no segundo temos o seno da soma. Assim,

⇒ e i θ 1 e i θ 2   = c o s ( θ 1 + θ 2 ) + i s e n ( θ 1 + θ 2 )   =   e i ( θ 1   +   θ 2 )

Beleza? Então, bora para a próxima.

Passo 3

b. Agora, vamos usar

e - i θ = c o s ( - θ ) + i s e n   ( -   θ )   =   c o s   ( θ )   - i s e n ( θ )

Por outro lado,

  1 e i θ = 1 c o s θ + i s e n   θ = 1 c o s θ + i s e n   θ c o s θ - i s e n   θ c o s θ - i s e n   θ

⇒   1 e i θ = c o s θ   -   i s e n   θ c o s 2 θ   +   s e n 2   θ = c o s θ - i s e n   θ   =   e - i θ

Então, vemos que tanto 1 e i θ quanto e - i θ resultam em c o s θ - i s e n   θ , então eles devem ser iguais. Muito legal, não é mesmo?

Resposta

Veja a resolução acima.

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