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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 63

Estimando π O matemático inglês Wallis descobriu a fórmula

π 4 = 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ . . . 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ . . .

Encontre o valor de π com duas casas decimais a partir dessa fórmula.

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Espero que estejam preparados para essa questão, porque ela vai ser um pouquinho complicada. Mas não precisa se preocupar, nós vamos resolver passo a passo juntos.

A questão pede para a gente usar a fórmula para encontrar π com duas casas decimais. Vamos usar essa fórmula para escrever

4 2   ⋅   4   ⋅   4   ⋅   6   ⋅   6   ⋅   8   ⋅   . . . 3   ⋅   3   ⋅   5   ⋅   5   ⋅   7   ⋅   7   ⋅   . . . = 2 × 2 1 × 2 3 × 4 3 × 4 5 × 6 5 × 6 7 × 8 7 ⋯

A primeira coisa que vamos usar é notar que a expressão acima pode ser escrita como um produtório infinito

2 ∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n - 1 ⋅ 2 n 2 n + 1

Passo 2

Ao invés de usar o somatório indo até o infinito, vamos considerar os primeiros k produtos:

p k = ∏ n = 1 k 2 n 2 n - 1 ⋅ 2 n 2 n + 1

Agora, vamos reescrever a expressão acima como

p k = ∏ n = 1 k 2 n 2 n - 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 = 2   ⋅   2   ⋅   4   ⋅   4   ⋅     ⋯   ⋅   ( 2 k - 2 ) 2 ⋅   ( 2 k ) 2 1   ⋅   3   ⋅   3   ⋅   5   ⋅   ⋯   ⋅   ( 2 k - 3 )   ⋅   ( 2 k - 1 )   ⋅   ( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )  

p k =   2 2   ⋅   4   2 ⋅   6 2   ⋅     ⋯   ⋅   ( 2 k - 2 ) 2 ⋅   ( 2 k ) 2 1   2   ⋅   3 2   ⋅     5 2   ⋅   ⋯   ⋅   ( 2 k - 3 ) 2     ⋅   ( 2 k - 1 ) 2   1 ( 2 k + 1 ) = 1 ( 2 k + 1 ) ∏ n = 1 k ( 2 n ) 2 2 n - 1 2

p k = 1 ( 2 k + 1 ) ∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 ( 2 n ) 2 2 n - 1 2 = 1 ( 2 k + 1 ) ∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 [ ( 2 n ) 2 n - 1 ] 2

Passo 3

Agora, nós temos que notar que

∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 = [ 2 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ ( 2 k - 2 ) ( 2 k ) ] 4 = [ 2 k [ 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ ( k - 1 ) ( k ) ] ] 4

∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 = 2 4 k ( k ! ) 4

e

∏ n = 1 k 1 [ ( 2 n ) 2 n - 1 ] 2 = 1 2 ⋅ 1 1 4 ⋅ 3 ⋯ 1 ( 2 k ) ⋅ ( 2 k - 1 ) 2 = 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ( 2 k - 1 ) ⋅ ( 2 k ) 2 = 1 ( 2 k ) ! 2

Então,

p k = 1 ( 2 k + 1 ) ∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 ( 2 n ) 2 2 n - 1 2 = 1 ( 2 k + 1 ) 2 4 k ( k ! ) 4 ( 2 k ) ! 2

Passo 4

Vamos verificar se esse produtório realmente converge para π . Nós estamos interessados no produtório p k quando k → ∞ . Para isso, podemos usar a aproximação de Stirling para k ! e ( 2 k ) ! . A aproximação de Stirling diz que

n ! ≈ 2 π n n e n ,   n > > 1

Então, aplicando Stirling, ficamos com

k ! ≈ 2 π k k e k ⇒ ( k ! ) 4 ≈ ( 2 π k ) 2 k e 4 k

( 2 k ) ! ≈ 4 π k 2 k e 2 k ⇒ ( ( 2 k ! ) ) 2 ≈ ( 4 π k ) 2 k e 4 k

Assim, quando k > > ∞ o produtório p k se torna:

p k = 2 4 k ( 2 k + 1 ) ( 2 π k ) 2 k e 4 k ( 4 π k ) 2 k e 4 k = 2 4 k ( 2 k + 1 ) k π 2 4 k = k π ( 2 k + 1 ) = π 2 + 1 / k ,   k > > 1

Quando tomamos o limite k → ∞ , obtemos p k = π / 2 . Agora, substituímos isso na relação do Passo 1:

2 ∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n - 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 = 2 l i m k → ∞ p k = 2 π 2 = π

Com isso, mostramos que esse produtório realmente resulta em π .

Passo 5

Para finalizar com chave de ouro, vamos calcular π com duas casas decimais, precisamos de um valor de k alto. Vamos testar k = 10 ,   100,200 ,   500 usando:

π = 2 p k = 2 ( 2 k + 1 ) 2 4 k ( k ! ) 4 ( 2 k ) ! 2

Temos

k = 10 :

2 p 10 = 2 21 2 40 ( 10 ! ) 4 20 ! 2 ≈ 3,068  

k = 100 :

2 p 100 = 2 201 2 400 ( 100 ! ) 4 200 ! 2 ≈ 3,134  

k = 200 :

2 p 200 = 2 401 2 800 ( 200 ! ) 4 400 ! 2 ≈ 3,138

k = 500 :

2 p 500 = 2 1001 2 2000 ( 500 ! ) 4 1000 ! 2 ≈ 3,140

Assim, com 500 termos no produtório, conseguimos o valor correto do π considerando duas casas decimais. Ufa! Essa sacada foi genial, não foi ? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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