Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 39

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

39. l i m x   →   0 s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x

Passo 1

Fala, galera! E aí, tudo bem? Que ótimo, então bora lá para mais uma questão!

O objetivo dessa questão é encontrar uma série para s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x e depois aplicar o limite. Para conseguir encontrar a série, precisamos primeiro das séries do seno e do cosseno:

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, vamos trocar x por 2 x na série do cosseno e x por 3 x 2 na série do seno:

c o s 2 x = 1 - ( 2 x ) 2 2 ! + ( 2 x ) 4 4 ! - ( 2 x ) 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 x ) 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

c o s 2 x = 1 - 2 2 x 2 2 ! + 2 4 x 4 4 ! - 2 6 x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 2 2 n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   3 x 2 = 3 x 2 - (   3 x 2 ) 3 3 ! + (   3 x 2 ) 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n (   3 x 2 ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   3 x 2 = 3 x 2 - 3 3 x 6 3 ! + 3 5 x 10 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 4 n + 2 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Com base nas séries do passo anterior, podemos calcular

1   -   c o s   2 x = 1 - 1 - 2 2 x 2 2 ! + 2 4 x 4 4 ! - 2 6 x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 2 2 n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

1   -   c o s   2 x = 2 2 x 2 2 ! - 2 4 x 4 4 ! + 2 6 x 6 6 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 2 2 n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

1   -   c o s   2 x = x 2 2 2 2 ! - 2 4 x 2 4 ! + 2 6 x 4 6 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 2 2 n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Além disso, vamos deixar um x 2 em evidência em

s e n   3 x 2 = x 2 3 - 3 3 x 4 3 ! + 3 5 x 8 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 4 n ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Para calcular o limite, temos primeiro que dividir as duas séries:

s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x = x 2 3   -   3 3 x 4 3 !   +   3 5 x 8 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 4 n ( 2 n   +   1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ x 2 2 2 2 !   -   2 4 x 2 4 !   +   2 6 x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 2 2 n x 2 n ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x = 3   -   3 3 x 4 3 !   +   3 5 x 8 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 4 n ( 2 n   +   1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 !   -   2 4 x 2 4 !   +   2 6 x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 2 2 n x 2 n ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

Pronto, agora sim podemos tomar o limite

l i m x   →   0 s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x = l i m x   →   0 3   -   3 3 x 4 3 !     +   3 5 x 8 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 4 n ( 2 n   +   1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 !   -   2 4 x 2 4 !   +   2 6 x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 2 2 n x 2 n ( 2 n ) !   +     ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   0 s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x = l i m x   →   0 3   -   3 3 x 4 3 !   +   3 5 x 8 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 4 n ( 2 n   +   1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ l i m x   →   0 2 2 2 !   -   2 4 x 2 4 !   +   2 6 x 4 6 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n + 1 2 2 n x 2 n ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   0 s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x = 3 2 2 2 ! = 3 ⋅ 2 ! 2 2 = 3 2

Limite calculado, podemos nos despedir por aqui. Até mais!

Resposta

l i m x   →   0 s e n   3 x 2 1   -   c o s   2 x = 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use um sistema de computação algébrico computacional para encontrar os polinômios de Taylor de ordem T n em a = 0 para os valores de n dados. Então, plote esses polinômios e f na mesma tela. f x = tan
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.11. x , x 0 = 1
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.14. 1 1 + x , x 0 = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.9. e x , x 0 = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.15. 1 1 - x , x 0 = 0