Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.

Vamos começar derivando a função algumas vezes:

Pra derivar essa função a gente pode usar a regra do “tombo”:

Como a função é do tipo , a gente teria que usar a regra da cadeia:

Só que como , a gente pode ocultar esse termo:

Pra segunda derivada vai acontecer a mesma coisa:

Percebe que o que apareceu na primeira derivada multiplica o que aparece na segunda. Continuando, com a terceira derivada:

Já deu pra perceber o padrão? A -ésima derivada fica assim:

Se a gente juntar esse “” em cada um dos números que tão sendo multiplicados, que são números, fica um :

Agora esse produto parece um fatorial né? O fatorial de ficaria assim:

Então se a gente dividir por , fica exatamente o produto que a gente quer:

Então a derivada fica assim:

Como a gente só tá interessado na derivada aplicada em , temos:

Então a série para a função é

Para calcular o raio de convergência, vamos usar o teste da razão: para uma série , a gente calcula

E a série converge para .

Pra nossa série, temos:

Então vamos calcular:

Como e valem , independente do , esses termos podem sair. Além disso, vamos simplificar em cima e em baixo e reorganizar os termos que sobraram:

Calculando o limite com :

Logo, a série converge para , então: