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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 98

Utilize as definições do exercício 93 para provas que lim x → 1 -   ⁡ 1 1 - x 2   = ∞  

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é seguir exatamente a definição, ou seja, encontrar um δ de modo que sempre que 1 - δ < x < 1 , e para um B > 0 dado

1 1 - x 2   >     B   ⟹ ⟹ 1 - x 2 < 1 B   ⟹ 1 - x 1 + x < 1 B     ⟹

Como x < 1   ⟹ 2 x < 1 + x   ⟹   x < 1 + x 2   .Então,

    1 - x 1 + x < 1 B ⋅ 1 < 1 B ⋅ x < 1 B ⋅   1 + x 2   ⟹    

  1 - x 1 + x <     1 B ⋅   1 + x 2   ⟹     1 - x < 1 2 B ⟹

- x < 1 2 B - 1   ⟹ x > 1 - 1 2 B

Como 1 - δ < x e nós quem devemos encontrar ele, então tá feito bb!

Basta considerar δ = 1 B e jogar na definição. Arrasamos, olha s��:

Para B > 0 existe δ < 1 2 B tal que sempre que 1 - δ < x < 1 . temos que 1 1 - x 2   > B Ou seja, lim x → 1 -   ⁡ 1 1 - x 2   = ∞

De fato,

1 - δ < x   ⟹   x > 1 - 1 2 B     ⟹   - x < 1 2 B - 1   ⟹     1 - x < 1 2 B     ⟹

  1 - x 1 + x <     1 B ⋅   1 + x 2     ⟹   1 - x 1 + x < 1 B   ⟹   1 - x 2 < 1 B     ⟹   1 1 - x 2   >     B

Resposta

Para B > 0 existe δ < 1 2 B tal que sempre que 1 - δ < x < 1 . temos que 1 1 - x 2   > B Ou seja, lim x → 1 -   ⁡ 1 1 - x 2   = ∞

De fato,

1 - x 1 + x <     1 B ⋅   1 + x 2     ⟹   1 - x 1 + x < 1 B   ⟹   1 - x 2 < 1 B     ⟹   1 1 - x 2   >     B

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