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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 29

Utilize a equação 6 para determinar d y // d x .

arctan ( x^2 y ) = x + x y^2

Passo 1

O exercício pede para você usar a equação 6 para achar d y // d x . Mas o que diz a equação 6?

Ela diz que se y for dado implicitamente em função de x por meio de uma equação do tipo f (x , y) = 0 , então

(d y)/(d x) = - ((del f)/(del x))/((del f)/(del y))

Neste caso é mais interessante reescrever a equação com a função tangente:

x^2 y = tan ( x + x y^2 )

Assim, vamos tomar

f (x , y) = tan ( x + x y^2 ) - x^2 y = 0

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

(del f)/(del x) = (1 + y^2) sec^2 ( x + x y^2 ) - 2 x y

(del f)/(del y) = 2 x y sec^2 ( x + x y^2 ) - x^2

Assim,

(d y)/(d x) = - ((1 + y^2) sec^2 ( x + x y^2 ) - 2 x y)/(2 x y sec^2 ( x + x y^2 ) - x^2)

Resposta

(d y)/(d x) = - ((1 + y^2) sec^2 ( x + x y^2 ) - 2 x y)/(2 x y sec^2 ( x + x y^2 ) - x^2)

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