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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 32

Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .

x^2 - y^2 + z^2 - 2 z = 4

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de z com relação a x e y usando as equações 7. Na seção do livro, foi apresentado que se z for dado implicitamente como função de x e y por meio de uma equação do tipo f (x , y , z) = 0 , então

(del z)/(del x) = - ((del f)/(del x))/((del f)/(del z)) e (del z)/(del y) = - ((del f)/(del y))/((del f)/(del z))

Neste caso, temos

f (x , y , z) = x^2 - y^2 + z^2 - 2 z - 4 = 0

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

(del f)/(del x) = 2 x

(del f)/(del y) = - 2 y

(del f)/(del z) = 2 z - 2

Assim,

(del z)/(del x) = - (2 x)/(2 z - 2) => (del z)/(del x) = (x)/(1 - z)

(del z)/(del y) = - ((- 2 y))/(2 z - 2) => (del z)/(del y) = (y)/(z - 1)

Resposta

(del z)/(del x) = (x)/(1 - z)

(del z)/(del y) = (y)/(z - 1)

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