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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 33

Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .

e^z = x y z

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de z com relação a x e y usando as equações 7. Na seção do livro, foi apresentado que se z for dado implicitamente como função de x e y por meio de uma equação do tipo f (x , y , z) = 0 , então

(del z)/(del x) = - ((del f)/(del x))/((del f)/(del z)) e (del z)/(del y) = - ((del f)/(del y))/((del f)/(del z))

Neste caso, temos

f (x , y , z) = e^z - x y z = 0

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

(del f)/(del x) = - y z

(del f)/(del y) = - x z

(del f)/(del z) = e^z - x y

Assim,

(del z)/(del x) = - (( - y z ))/(e^z - x y) => (del z)/(del x) = (y z)/(e^z - x y)

(del z)/(del y) = - ((- x z))/(e^z - x y) => (del z)/(del y) = (x z)/(e^z - x y)

Resposta

(del z)/(del x) = (y z)/(e^z - x y)

(del z)/(del y) = (x z)/(e^z - x y)

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Uma função f é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f t x , t y = t n f ( x , y ) para todo valor de t , onde n é o número inteiro e positivo e f tem as segundas derivadas parciais contínuas
Se f é homogênea de grau n , mostre que x^2 (del^2 f)/(del x^2) + 2 x y (del^2 f)/(del x del y) + y^2 (del^2 f)/(del y^2) = n ( n - 1 ) f ( x , y )
Utilize a equação 6 para determinar d y // d x .cos ( x y ) = 1 + s e n y
Utilize a equação 6 para determinar d y // d x .y cos x = x^2 + y^2
Utilize a equação 6 para determinar d y // d x .arctan ( x^2 y ) = x + x y^2