Utilize as equações 7 para determinar ∂z/∂x e ∂z/∂y .

e^z = xyz

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de z com relação a x e y usando as equações 7. Na seção do livro, foi apresentado que se z for dado implicitamente como função de x e y por meio de uma equação do tipo f (x , y , z) = 0 , então

(del z)/(del x) = - ((del f)/(del x))/((del f)/(del z)) e (del z)/(del y) = - ((del f)/(del y))/((del f)/(del z))

Neste caso, temos

f (x , y , z) = e^z - x y z = 0

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

(del f)/(del x) = - y z

(del f)/(del y) = - x z

(del f)/(del z) = e^z - x y

Assim,

(del z)/(del x) = - (( - y z ))/(e^z - x y) => (del z)/(del x) = (y z)/(e^z - x y)

(del z)/(del y) = - ((- x z))/(e^z - x y) => (del z)/(del y) = (x z)/(e^z - x y)

Resposta

(del z)/(del x) = (y z)/(e^z - x y)

(del z)/(del y) = (x z)/(e^z - x y)

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