Seja um campo vetorial em . Calcule a integral de linha do campo ao longo das curvas e , orientadas no sentido anti-horário, onde:
- é a circunferência de equação .
é a fronteira do retângulo .
Passo 1
- A gente pode aplicar o teorema de Green, mas não no conjunto dado.
Podemos, por exemplo, tomar o conjunto abaixo.
onde percorremos o retângulo no sentido anti-horário e o círculo no sentido horário. Assim, o conjunto será o retângulo menos o círculo, de modo que não estará no interior de . Sendo assim,
Primeira coisa que devemos fazer é calcular as derivadas:
Também,
Logo,
Note que a última integral é simplesmente a área do retângulo área do círculo!
Passo 2
Sendo assim, segue que
Resposta
.