Seja F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2) + 3x) um campo vetorial em R^2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2 , orientadas no sentido anti-horário, onde:

  1. C1 é a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4 .

C2 é a fronteira do retângulo R = { x, y ∈ R^2 : -π ≤ x ≤ π, -3 ≤ y ≤ 3 } .

Passo 1

  1. A gente pode aplicar o teorema de Green, mas não no conjunto dado.

Podemos, por exemplo, tomar o conjunto D abaixo.

onde percorremos o retângulo no sentido anti-horário e o círculo no sentido horário. Assim, o conjunto D será o retângulo menos o círculo, de modo que 0,0 não estará no interior de D . Sendo assim,

∮ C 2 ∪ C 1 - F 1   d x + F 2   d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y   d x   d y

Primeira coisa que devemos fazer é calcular as derivadas:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + 3 x ∂ F 2 ∂ x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 3

Também,

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 ∂ F 1 ∂ y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Logo,

∮ C 2 ∪ C 1 - F 1 d x + F 2 d y = ∬ D y 2 - x 2 x 2 + y 2 + 3 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 d x   d y ∮ C 2 ∪ C 1 - F 1 d x + F 2 d y = ∬ D 3   d x   d y = 3 ∬ D d x   d y

Note que a última integral é simplesmente a área do retângulo área do círculo!

∮ C 2 ∪ C 1 - F 1 d x + F 2 d y = 3 2 π 6 - π 2 2 = 24 π

Passo 2

Sendo assim, segue que

∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y - ∮ C 1 F 1 d x + F 2 d y = 14 π ∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y = 14 π + 24 π = 38 π

Resposta

38 π .

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