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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 6a

Seja F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 x um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde:

  1. C 1 é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 4 .
  2. C 2 é a fronteira do retângulo R = x , y ∈ R 2 : - π ≤ x ≤ π ,   - 3 ≤ y ≤ 3 .

Passo 1

Assim como no exercício anterior, não podemos usar o teorema de Green “às cegas”. Note que em 0,0 , F x , y sofre uma descontinuidade. Dessa maneira, não poderemos aplicar o teorema de Green em conjuntos que possuam o 0,0 em seu interior.

Passo 2

  1. Vamos calcular a integral dada pela definição de integral de linha.

Para isso, tome a seguinte parametrização:

γ t = 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, segue que

∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π F γ t   γ ' t   d t ∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π - 2 sin ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + 4 sin 2 ⁡ t , 2 cos ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + 4 sin 2 ⁡ t + 6 cos ⁡ t ⋅ - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t   d t ∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π - sin ⁡ t 2 , 13 cos ⁡ t 2 ⋅ - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t d t = ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t + 13 cos 2 ⁡ t d t ∮ C 1 F ⋅ d r = ∫ 0 2 π 1 + 12 cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π d t + 12 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t ∮ C 1 F ⋅ d r = 2 π + 6 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t d t = 2 π + 6 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 0 2 π ∮ C 1 F ⋅ d r = 2 π + 6 2 π + 0 = 14 π

Observação. Note que na 3° para 4° linha, usamos sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ; Na 5° linha usamos cos 2 ⁡ t = 1 2 cos ⁡ 2 t + 1 .

Resposta

  1. 14 π .
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1 ) Sejam γ e K como no teorema de Green. Prove que área de k =∮ γ xd y
4 ) Calcule ∮ γ Fd γ onde γ é uma curva fechada, simples, C 1 por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e Fx , y= 2 x + y i + 3 x - y j
3) Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤2π, onde a0 e b0.
6) Calcule ∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ é uma curva fechada, C1 por partes, simples, fronteira de umconjunto B, cujo interior contém o círculo x 2+y 2≤1 . (Sugestão. Apliqueo teorema
8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda, ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 Calcule ∮ γ P d x + Q d y Sabendo que ∮ γ 1 P d x + Q d y = 1 e ∮ γ 2 P d x + Q d y = 2 (γ1 e γ2 são o