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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.8 - Ex. 20

Se f = M i + N j + P k é um campo vetorial diferenciável, definimos a notação f . ∇ para significar

M ∂ ∂ x + N ∂ ∂ y + P ∂ ∂ z .

Para campos vetoriais difernciáveis f 1   e   f 2 , verifique as identidades a seguir.

a) ∇ x f 1 x f 2 = ( f 2 . ∇ ) f 1 - f 1 . ∇ f 2 + ∇ . f 2 f 1 - ∇ . f 1 f 2

b) ∇ f 1 . f 2 = f 1 . ∇ f 2 + f 2 . ∇ f 1 + f 1 x   ∇ x f 2 + f 2 x ( ∇ x f 1 )

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Então na letra (a) sendo ,

f 1 = M 1 i + N 1 j + P 1 k                 e           f 2 = M 2 i + N 2 j + P 2 k

Com isso vamos ter que,

f 1 x f 2 = N 1 P 2 - P 1 N 2 i + P 1 M 2 - M 1 P 2 j + M 1 N 2 - N 1 M 2 k → ∇ x ( f 1 x f 2 )

= ∂ ∂ y   M 1 N 2 - N 1 M 2 - ∂ ∂ z   P 1 M 2 - M 1 P 2 i + ∂ ∂ z N 1 P 2 - P 1 N 2 - ∂ ∂ x M 1 N 2 - N 1 M 2 j + ∂ ∂ x P 1 M 2 - M 1 P 2 - ∂ ∂ y N 1 P 2 - P 1 N 2 k  

Passo 2

Considerando i componente em :

∂ ∂ y M 1 N 2 - N 1 M 2 - ∂ ∂ z ( P 1 M 2 - M 1 P 2 )

Vamos ter que ,

N 2 ∂ M 1 ∂ y + M 1   ∂ N 2 ∂ y - M 2   ∂ N 1 ∂ y - N 1 ∂ M 2 ∂ y - M 2 ∂ P 1 ∂ z - P 1 ∂ M 2 ∂ z + P 2 ∂ M 1 ∂ z + M 1 ∂ P 2 ∂ z  

= N 2 ∂ M 1 ∂ y + P 2   ∂ M 1 ∂ z - N 1 ∂ M 2 ∂ y + P 1 ∂ M 2 ∂ z + ∂ N 2 ∂ y + ∂ P 2 ∂ z M 1 - ∂ N 1 ∂ y + ∂ P 1 ∂ z M 2 - ∂ M 1 ∂ x + ∂ N 1 ∂ y + ∂ P 1 ∂ z M 2  

Agora é composto de ,

f 2 . ∇ f 1 = M 2 ∂ ∂ x + N 2 ∂ ∂ y + P 2 ∂ ∂ z M 1 = M 2 ∂ M 1 ∂ x + N 2 ∂ M 1 ∂ y + P 2 ∂ M 1 ∂ z

Da esma forma que,

f 1 . ∇ f 2 = M 1 ∂ M 2 ∂ x   + N 1 ∂ M 2 ∂ y + P 1 ∂ M 2 ∂ z  

Sendo i componente de,

∇ . f 2 f 1 = ∂ M 2 ∂ x + ∂ N 2 ∂ y + ∂ P 2 ∂ z M 1     e     ∇ . f 1 f 2 = ∂ M 1 ∂ x + ∂ N 1 ∂ y + ∂ P 1 ∂ z M 2

Assim os resultados semelhantes são validos para os componentes J e K de ∇ x f 1 x f 2 . Com isso, uma vez que os componentes correspondentes são iguais, temos o resultado de,

∇   x   f 1   x   f 2 = f 2 . ∇ f 1 - f 1 . ∇ f 2 + ∇ . f 2 f 1 - ∇ . f 1 f 2

Passo 3

Já na letra (b) temos que, considerar novamente apenas o componente i de cada expressão assim,

∇ f 1 . f 2 = ∂ ∂ x M 1 ,   M 2 + N 1 N 2 + P 1 P 2 = M 1 ∂ M 2 ∂ x + M 2 ∂ M 1 ∂ x + N 1 ∂ N 2 ∂ x + N 2 ∂ N 1 ∂ x + P 1 ∂ P 2 ∂ x + P 2 ∂ P 1 ∂ x

Assim para,

f 1 . ∇ f 2 = M 1 ∂ M 2 ∂ x + N 1 ∂ M 2 ∂ y + P 1 ∂ M 2 ∂ z

f 2 . ∇ f 1 = M 2 ∂ M 1 ∂ y + N 2 ∂ M 1 ∂ y + P 2 ∂ M 1 ∂ z

Com isso vamos ter que,

f 1   x   ∇   x   f 2 = N 1 ∂ N 2 ∂ x - ∂ M 2 ∂ y - P 1 ∂ M 2 ∂ z - ∂ P 2 ∂ x

f 2   x   ∇   x   f 1 = N 2 ∂ N 1 ∂ x - ∂ M 1 ∂ y - P 2 ∂ M 1 ∂ z - ∂ P 1 ∂ x

Uma vez que os correspondentes são iguais temos que,

∇ . f 1 . f 2 = f 1 . ∇ f 2 + f 2 . ∇ f 1 + f 1   x   ∇   x   f 2 + f 2   x   ( ∇   x   f 1 )

Resposta

a) ∇   x   f 1   x   f 2 = f 2 . ∇ f 1 - f 1 . ∇ f 2 + ∇ . f 2 f 1 - ∇ . f 1 f 2

b) ∇ . f 1 . f 2 = f 1 . ∇ f 2 + f 2 . ∇ f 1 + f 1   x   ∇   x   f 2 + f 2   x   ( ∇   x   f 1 )

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