a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha á r e aD = ∮ ∂ D xd y á

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 4a

a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada do plano pode ser obtida através da seguinte integral de linha

Passo 1

O exercício pede para gente calcular uma área por uma integral de linha... qual ferramenta a gente conhece para calcular áreas? Se você disse integrais duplas, você teve um bom palpite :). E o que relaciona integrais duplas com uma integral de linha? Isso mesmo... o teorema de Green.

Então, vamos lembrar o que tal teorema diz? Ele nos diz que, sob certas condições, (para mais detalhes veja o teorema 6.3 do livro texto) a gente pode escrever

Vamos tentar utilizar isso a nosso favor!

Passo 2

Vamos comparar a integral dada com ! Vemos que . Sendo assim, aplicando o teorema de Green, temos

Mas... note que a última integral é simplesmente a área do conjunto D!! Sendo assim,

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique que ∫ γ P d x + Q d y = ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y Onde B é o triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 ; γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, P x , y = x 2 - y e Q x , y =

Seja B o triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 ; γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que ∫ γ P d x + Q d y = ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d xd y Onde P e Q são supostas de classe

2 ) Calcule a área da região limitada pela curva x = t - sen t, y = 1 - cos t, 0≤ t ≤ 2π, e pelo eixo 0x

5) Calcule ∮ γ Fd γ onde F x , y = 4 x 3 y 3 i + 3 x 4 y 2 + 5 x j e γ é a fronteira do quadradro de vértices (-1,0), (0,-1), (1,0),(0,1)

9) Calcule a área da região limitada pela reta y = x e pela curva x=t 3+t e y=t 5+t , com 0 ≤ t ≤ 1. Desenhe a região.