a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha

á r e a < D >   = ∮ ∂ D x   d y

Passo 1

O exercício pede para gente calcular uma área por uma integral de linha... qual ferramenta a gente conhece para calcular áreas? Se você disse integrais duplas, você teve um bom palpite :). E o que relaciona integrais duplas com uma integral de linha? Isso mesmo... o teorema de Green.

Então, vamos lembrar o que tal teorema diz? Ele nos diz que, sob certas condições, (para mais detalhes veja o teorema 6.3 do livro texto) a gente pode escrever

∮ ∂ D P   d x + Q   d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x   d y

Vamos tentar utilizar isso a nosso favor!

Passo 2

Vamos comparar a integral dada com ∮ ∂ D P   d x + Q   d y ! Vemos que Q x , y = x . Sendo assim, aplicando o teorema de Green, temos

∮ ∂ D x   d y = ∬ D ∂ ∂ x x - ∂ ∂ y 0 d x   d y ∮ ∂ D x   d y = ∬ D d x   d y

Mas... note que a última integral é simplesmente a área do conjunto D!! Sendo assim,

á r e a < D >   = ∮ ∂ D x   d y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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