Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 16
Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
é uma elipse .
Passo 1
Fala pessoal !
O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região do plano delimitada por .
Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples refere-se ao sentido antihorário de , percorrido só uma vez.
Se e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha , então
A curva e região são exibidas abaixo.
O exercício pede para fazermos a integral de linha e a integral dupla pelo teorema de Green.
Para resolver a integral de linha precisamos fazer a parametrização da curva através de coordenadas polares para facilitar os cálculos e achar seus intervalos.
Após parametrizar iremos substituir os novos valores de nas funções e que o enunciado nos informa .
Assim iremos obter a nossa integral :
Seguindo o teorema de green iremos precisar achar as derivadas parciais e .
Com essas informações poderemos obter a estrutura da nossa integral e resolvê-la utilizando sistema de computação algébrica .
Para calcular a integral dupla vai ser mais fácil porque não precisamos parametrizar a curva. Então iremos apenas substituir os valores das derivadas parciais e , achar os intervalos da curva e substituir na integral:
Passo 2
Bom, vamos começar pela curva dada , que foi uma elipse que obedece a equação
.
Dividindo a equação por 4 podemos reescrevê-la da seguinte maneira:
Podemos parametrizar agora. Lembrando que iremos usar as coordenadas polares, logo :
Pela equação da elipse sabemos que os raios serão :
Logo:
No eixo x :
No eixo y :
Reescrevendo as equações paramétricas:
Vamos achar agora os intervalos , de acordo com a curva mostrada no passo anterior podemos afirmar que :
Passo 3
Agora vamos reescrever os novos valores de nas funções e:
Sabemos que :
e
Substituindo :
e
Substituindo na integral:
Agora precisamos trocar os diferenciais e e colocá-los em função de :
Como:
Substituindo na integral:
Fazendo as multiplicações e simplificando :
Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a integral dupla!
lembrando que :
e
Precisamos calcular as derivadas parciais aí de cima. Isso é moleza!
Os limites de integração podem sem encontrados a partir da equação da curva .
Isolando o
Assim, varia de .
Desse modo, podemos escrever nossa integral dupla como:
Fazendo uso de um sistema de computação algébrica, chegamos ao seguinte resultado:
Depois de muita conta, verificamos o Teorema de Green!
Resposta
e