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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 6

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y

C é um triângulo com os vértices 0,0 , 2,1   e   0,1 .

Passo 1

Fala, galerinha! Suave?

A questão pede a integral de linha:

∫ C x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y

Onde C é um triângulo com os vértices 0,0 , 2,1   e   0,1 , utilizando o Teorema de Green.

O Teorema de Green nos traz que

∫ C P   d x + Q   d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Onde P é nossa função integrada em d x e Q é nossa função integrada em d y .

Aqui nesse caso, temos:

P x , y = x 2 + y 2

E:

Q x , y = x 2 - y 2

Veja na equação do nosso teorema que precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ Q ∂ x   e   ∂ P ∂ y

Depois das derivadas calculadas é só calcularmos nossa integral dupla, estabelecendo os limites de integração para x e y e fazendo:

d A = d x   d y

Bora!

Passo 2

Vamos começar pelas derivadas parciais:

  • Q x , y = x 2 - y 2 . Derivando em relação a x e tratando y como constante:

    • ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - y 2 = 2 x

  • P x , y = x 2 + y 2 . Derivando em relação a y e tratando x como constante:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 = 2 y

Substituindo na equação do Teorema de Green:

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ 2 x - 2 y d A

Passo 3

Agora vamos achar os limites de integração da nossa integral dupla. A curva C é exibida abaixo:

y = x 2

triângulo com os vértices 0,0 , 2,1   e   0,1

Podemos expressar essa região como uma região do tipo I, onde x está entre duas constantes e y entre duas funções. Olhando o gráfico vemos que:

0 ≤ x ≤ 2

Vemos que y está limitado abaixo por y = x 2 e acima por y = 1

x 2 ≤ y ≤ 1

Pronto, agora temos nossos limites de integração!

Passo 4

∬ 2 x - 2 y d A

Temos que:

d A = d y   d x

Como y tem funções nos limites de integração, devemos colocar sua integral “pra dentro” da integral dupla. Então ficamos com:

∫ 0 2 ∫ x 2 1 ( 2 x - 2 y ) d y d x

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 ∫ x 2 1 ( 2 x - 2 y ) d y d x

Vamos resolver primeiro pra y , tratando x como constante:

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = ∫ 0 2 2 x y - 2 y 2 2 x / 2 1

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 2 2 x y - 2 y 2 2 x / 2 1 = ∫ 0 2 2 x x 2 - x 2 2 - 2 x 1 - 1 2   d x

Simplificando e agrupando os termos:

∫ 0 2 2 x x 2 - x 2 2 - 2 x 1 - 1 2   d x = ∫ 0 2 x 2 - x 2 4 - 2 x + 1 d x

Simplificando novamente:

∫ 0 2 x 2 - x 2 4 - 2 x + 1 d x = ∫ 0 2 3 x 2 2 - 2 x + 1 d x

Integrando agora em x :

∫ 0 2 3 x 2 2 - 2 x + 1 d x = x 3 4 - x 2 + x 0 2

Aplicando os limites de integração

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = 0

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y = 0

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8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda, ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 Calcule ∮ γ P d x + Q d y Sabendo que ∮ γ 1 P d x + Q d y = 1 e ∮ γ 2 P d x + Q d y = 2 (γ1 e γ2 são o
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