Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮_C (y dx - x dy)

C é uma circunferência com centro na origem e raio = 4 .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . y d x - x d y = ∬ ∂ ∂ x - x - ∂ ∂ y y d A

∮ C . y d x - x d y = ∬ - 1 - 1   d A

∮ C . y d x - x d y = - 2 ∬ d A

Aqui, temos que que dupla integral de d A é a área da circunferência de r a i o = 4 , que é π × 4 2 = 16 π . Portanto

∮ C . y d x - x d y = - 2 ∬ d A = - 2 × 16 π = - 32 π

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . y d x - x d y = - 32 π

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