Utilize as formulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Aqui as linhas indicam derivadas com relação a t . Comece como na demonstração do teorema 10 .) r → ' ' = s ' ' T → + κ s ' 2 N → r → ' × r → ' ' = κ s ' 3 B → r → ' ' ' = s ' ' ' - κ 2 s ' 3 T → + 3 κ s ' s ' ' + κ ' s ' 2 N → + κ τ s ' 3 B → τ = r → ' × r → ' ' ⋅ r → ' ' ' | r → ' × r → ' ' 2

Enunciado

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Sabendo que o vetor tangente é

Então:

E derivando dos dois lados temos, pela regra do produto:

Usando a regra da cadeia na derivada :

E agora utilizando a primeira fórmula de Frenet-Serret ()

Agora vamos calcular . A partir dos valores de e do passo temos:

Utilizando a propriedade distributiva do produto vetorial (CUIDADO COM A ORDEM DOS VETORES!):

Sabendo que e que temos:

Agora vamos pegar o resultado de do passo :

E derivar novamente em relação a . Notem que do primeiro termo do lado direito vão surgir três termos quando fizermos a derivação hein =)

Vamos lá?

Usando a regra da cadeia nas derivadas e :

E agora utilizando a primeira e a segunda fórmula de Frenet-Serret:

E agora agrupando todos os termos com os mesmos vetores unitários:

Demonstrada a relação =D Vamos para o último item?

Com os resultados dos itens e podemos fazer o produto escalar entre :

Sabendo que os vetores são ortogonais entre si, então e e também , então o produto escalar fica:

E o valor de é:

Agora podemos substituir os valores na expressão que queremos demonstrar:

Ei, a resposta está no passo a passo :)