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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 45

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ - 1 1 ln ⁡ | x | d x

Passo 1

Como temos módulo, vamos dividir essa integral em duas:

∫ - 1 0 ln ⁡ ( - x ) d x +   ∫ 0 1 ln ⁡ x d x

Vamos calcular a integral indefinida ∫ ln ⁡ x   d x   usando integração por partes.

Passo 2

Escolhemos u = ln ⁡ x e d v = d x , daí temos: d u = 1 x   d x e v = x

Montando a integração, ficamos com:

x ln ⁡ x -   ∫ x 1 x d x = x ln ⁡ x - x + C

Agora, jogamos os limites da integração:

  • ∫ - 1 0 ln ⁡ ( - x ) d x =   x   l n   x - x ] 0 - 1 = - ( 1 ln ⁡ - 1 + 1 ) =   - 1 =
  • ∫ 1 0 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x ] 1 0 = 1   l n ⁡   1 - 1 =   - 1

Então: ∫ - 1 0 ln ⁡ ( - x ) d x +   ∫ 0 1 ln ⁡ x d x =   - 2

A integral converge.

Resposta

∫ - 1 1 ln ⁡ | x | d x converge.

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Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 ∞ x2 - xd x