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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 33

Dada

f x = { 1 - e 2 x 2 x ,   s e   x ≠ 0 - 1 ,   s e   x = 0

  1. Prove que f é contínua em 0, usando a Definição 2.6.1.
  2. Prove que f é diferenciável em 0 calculando f ' 0 .

Passo 1

Segundo a definição 2.6.1, para que uma função seja continua em a, ela deve atender a 3 condições:

i       f a   e x i s t e ;

i i     l i m x → a   f x   e x i s t e ;

i i i   l i m x → a   f x = f a .

Para a letra (a),

f 0 = - 1

  l i m x → 0   f x =   l i m x → 0   1 - e 2 x 2 x

Para resolver este limite aplicamos a Regra do L’Hôpital, pois   l i m ⁡ x → 0 1 - e 2 x = 1 - 1 = 0 e   l i m x → 0   2 x = 0 . Calculando a derivada do numerador e denominador:

  l i m x → 0   - 2 . e 2 x 2 =   l i m x → 0 - e 2 x = - 1

  l i m x → 0   1 - e 2 x 2 x = f 0

Passo 2

Para a letra (b),

f ' 0 =   l i m x → 0   f x - f ( 0 ) x - 0 =   l i m x → 0 1 - e 2 x 2 x + 1 x =   l i m x → 0 1 - e 2 x + 2 x 2 x ²

Para resolver este limite aplicamos a Regra do L’Hôpital, pois   l i m ⁡ x → 0 1 - e 2 x + 2 x = 0 e   l i m x → 0   2 x ² = 0 . Calculando a derivada do numerador e denominador:

f ' 0 =   l i m x → 0   2 - 2 . e 2 x 4 x

Usando a Regra do L’Hôpital, pois   l i m ⁡ x → 0 2 - 2 . e 2 x = 0 e   l i m x → 0   4 x = 0 .

f ' 0 =   l i m x → 0   - 4 . e 2 x 4 = =   l i m x → 0 - e 2 x = - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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