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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 52

Nos Exercícios ∫ c o s s e c 3   θ     θ d θ , calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais. Mas primeiramente vamos usar o método da substituição

Passo 2

Fazendo a substituição teremos:

∫ c o s s e c 3   θ     θ d θ

u =   θ

d u = (   θ ) ' d t

d u = 1 2 . 1   θ   d t

∫ c o s s e c 3   θ     θ d θ = 2 2 ∫ c o s s e c 3   θ     θ d θ

= 2 ∫ 1 2 . c o s s e c 3   θ     θ d θ

= 2 ∫ c o s s e c 3 u     d u

Agora pra continuar desenvolvendo usaremos a fórmula abaixo:

∫ c o s s e c n a x   d x = -   c o s s e c n - 2 a x   . c o t g   a x   a . n - 1 +   n - 2 n - 1 ∫ c o s s e c n - 2 a x   d x

Subtituindo:

= 2 ∫ c o s s e c 3 u     d u

= 2 -   c o s s e c 3 - 2 u   . c o t g   u   1 . 3 - 1 + 3 - 2 3 - 1 ∫ c o s s e c 3 - 2 u   d u

= 2 - c o s s e c   u   . c o t g   u   2 + 1 2 ∫ c o s s e c   u   d u

= - 2 . c o s s e c   u   . c o t g   u   2 + 2 . 1 2 ∫ c o s s e c   u   d u

= - c o s s e c   u   . c o t g   u + ∫ c o s s e c   u   d u

Agora usaremos a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ c o s s e c   x d x = -   l n   c o s s e c   x + c o t g   x

Substituindo:

= - c o s s e c   u   . c o t g   u + -   l n   c o s s e c   u + c o t g   u

= - c o s s e c   u   . c o t g   u   -   l n   c o s s e c   u + c o t g   u

Passo 3

Por último precisamos substituir u =   θ :

= - c o s s e c   u   . c o t g   u   -   l n   c o s s e c   u + c o t g   u

= - c o s s e c     θ   . c o t g     θ   -   l n   c o s s e c     θ + c o t g     θ + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ c o s s e c 3   θ     θ d θ = - c o s s e c     θ   . c o t g     θ   -   l n   c o s s e c     θ + c o t g     θ + c

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