Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 0 1 θ + 1   d θ θ 2 + 2 θ    

Passo 1

Quando integramos uma função em seus pontos assintóticos (onde a função explode pro infinito ou pro zero) temos integrais impróprias que podem ser descritas por

i :       ∫ a b f ( x )   d x = lim c → a + ⁡ ∫ c b f x d x

i i :       ∫ a b f ( x )   d x = lim c → b - ⁡ ∫ a c f x d x

i i i :       ∫ a b f ( x )   d x = ∫ a c f ( x )   d x   + ∫ c b f ( x )   d x   ,   c   é   u m   p o n t o   d e   d e s c o n t i n u i d a d e

Passo 2

Resolvendo primeiramente a integral para depois aplicar umas das formas acima, vamos ter

∫ 0 1 θ + 1   d θ θ 2 + 2 θ  

Fazendo θ 2 + 2 θ = u → d u d θ = 2 ⋅ θ + 1 → d u 2 = θ + 1   d θ , quando x = 0 → θ = 0 , agora quando x = 1 → θ = 3

∫ 0 3 d u 2 ⋅ u 1 2  

Passo 3

Aplicando, então, a forma ( i ) descrita no primeiro passo vamos obter

∫ b 3 d u 2 ⋅ u 1 2   = lim b → 0 + ⁡ ∫ b 3 d u 2 ⋅ u 1 2 = l i m b → 0 + u 3 b =   l i m b → 0 +   3 - b = 3

Resposta

3

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