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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 15

Calcule a integral sem usar tabelas

int_0^1 (theta + 1 d theta)/(sqrt(theta^2 + 2 theta))

Passo 1

Quando integramos uma função em seus pontos assintóticos (onde a função explode pro infinito ou pro zero) temos integrais impróprias que podem ser descritas por

(i) : int_a^b f ( x ) d x = underset(c -> a^+)(lim) int_c^b f (x) d x

(i i) : int_a^b f ( x ) d x = underset(c -> b^-)(lim) int_a^c f (x) d x

(i i i) : int_a^b f ( x ) d x = int_a^c f ( x ) d x + int_c^b f ( x ) d x , c é u m p o n t o d e d e s c o n t i n u i d a d e

Passo 2

Resolvendo primeiramente a integral para depois aplicar umas das formas acima, vamos ter

int_0^1 (theta + 1 d theta)/(sqrt(theta^2 + 2 theta))

Fazendo theta^2 + 2 theta = u -> (d u)/(d theta) = 2 * (theta + 1) -> (d u)/(2) = (theta + 1) d theta , quando x = 0 -> theta = 0 , agora quando x = 1 -> theta = 3

int_0^3 (d u)/(2 * u^((1)/(2)))

Passo 3

Aplicando, então, a forma ( i ) descrita no primeiro passo vamos obter

int_b^3 (d u)/(2 * u^((1)/(2))) = underset(b -> 0^+)(lim) int_b^3 (d u)/(2 * u^((1)/(2))) = underset(b -> 0^+)(l i m) [sqrt(u)] (3)/(b) = underset(b -> 0^+)(l i m) (sqrt(3) - sqrt(b)) = sqrt(3)

Resposta

sqrt(3)

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