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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 10

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

10.

int (5 d x)/(sqrt(25 x^2 - 9)) , x > (3)/(5)

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

x = (3)/(5) sec u d x = (3)/(5) * sec u * t g u d u

Então nossa integral fica

5 int (d x)/(sqrt(25 x^2 - 9)) = 5 int ((3)/(5) sec u * t g u)/(sqrt(25 ( (3)/(5) sec u )^2 - 9)) d u = int (3 * sec u * t g u)/(3 sqrt(s e c^2 u - 1)) d u = int (sec u * t g u)/(sqrt(s e c^2 u - 1)) d u

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica s e c^2 u - 1 = t g^2 u

Teremos então

int (sec u * t g u)/(sqrt(s e c^2 u - 1)) d u = int sec u * (t g u)/(sqrt(t g^2 u)) d u = int sec u d u

Passo 4

Agora só precisamos calcular a integral, para calcular essa integral basta fazer

int sec u * (sec u + t g u)/(sec u + t g u) d u

Agora fazemos a seguinte substituição

t = sec u + t g u d t = (sec u * t g u + s e c^2 u) d u

int sec u * (sec u + t g u)/(sec u + t g u) d u = int (sec u * t g u + s e c^2 u)/(sec u + t g u) d u = int (d t)/(t) = l n | t |

Então nossa integral fica

ln | sec u + t g u | + C

Passo 5

Mas sabemos que

x = (3)/(5) sec u

E

sqrt(s e c^2 x - 1) = t g x

Então

ln | sec u + t g u | = ln |(5)/(3) x + (sqrt(25 x^2 - 9))/(3)| + C

Resposta

ln |(5)/(3) x + (sqrt(25 x^2 - 9))/(3)| + C

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