Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

10.

∫ 5 d x 25 x 2 - 9     ,         x > 3 5

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

x = 3 5 sec ⁡ u d x = 3 5 ⋅ sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u

Então nossa integral fica

5 ∫ d x 25 x 2 - 9   = 5 ∫ 3 5 sec ⁡ u ⋅ t g   u 25 ( 3 5 sec ⁡ u ) 2 - 9 d u = ∫ 3 ⋅ sec ⁡ u ⋅ t g   u 3 s e c 2 u - 1 d u = ∫ sec ⁡ u ⋅ t g   u s e c 2 u - 1 d u

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica s e c 2 u - 1 = t g 2 u

Teremos então

∫ sec ⁡ u ⋅ t g   u s e c 2 u - 1 d u = ∫ sec ⁡ u ⋅   t g   u t g 2 u d u = ∫ sec ⁡ u   d u

Passo 4

Agora só precisamos calcular a integral, para calcular essa integral basta fazer

∫ sec ⁡ u ⋅ sec ⁡ u +   t g   u sec ⁡ u + t g   u d u

Agora fazemos a seguinte substituição

t = sec ⁡ u + t g   u d t = sec ⁡ u ⋅   t g   u +   s e c 2 u d u

∫ sec ⁡ u ⋅ sec ⁡ u +   t g   u sec ⁡ u + t g   u d u =   ∫ sec ⁡ u ⋅   t g   u +   s e c 2 u sec ⁡ u + t g   u d u =   ∫ d t t = l n ⁡ | t |

Então nossa integral fica

ln ⁡ | sec ⁡ u + t g   u | + C

Passo 5

Mas sabemos que

x = 3 5 sec ⁡ u

E

s e c 2 x - 1 = t g   x

Então

ln ⁡ | sec ⁡ u + t g   u | = ln ⁡ 5 3 x + 25 x 2 - 9 3 + C

Resposta

ln ⁡ 5 3 x + 25 x 2 - 9 3 + C

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