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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 21

Calcule a integral sem usar tabelas

int_(- oo)^0 theta * e^(theta) d theta

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

Passo 2

Resolvendo a integral de maneira indefinida para simplificar os nossos cálculos faremos

int theta e^(theta) d theta =

Fazendo f = theta -> f^' = 1 e g^' = e^(theta) -> g = e^(theta) teremos, integrando por partes,

int theta e^(theta) d theta = theta e^(theta) - int e^(theta) d theta = theta e^(theta) - e^(theta) + K

Retornando para a forma definida, vamos ter

int_(- oo)^0 theta * e^(theta) d theta = underset(b -> - oo)(lim) int_b^0 theta * e^(theta) d theta

underset(b -> - oo)(lim) [theta e^(theta) - e^(theta)] (0)/(b) =

underset(b -> - oo)(l i m) [0 e^0 - e^0] - [b e^b - e^b] = - 1

Resposta

- 1

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