Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 35
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 49
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
O enunciado cita pra gente o exercício 49:
“Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas arestas seja uma constante ”
E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à uma restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Mas qual é função que estamos maximizando? E qual a restrição para esse caso?
A função que buscamos o valor máximo é a que descreve o volume da caixa! Ora, seja uma caixa de dimensões e de forma que o volume é dado por
E ainda, com a condição da soma das arestas, temos a seguinte restrição
Passo 2
Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes e ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:
Para
De forma que
Para
Analogamente, temos
De forma que
Ou ainda
Passo 3
Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever
Agora vamos analisar cada uma das igualdades!
Temos o seguinte sistema:
E incluindo a restrição, temos também
E de cara, pelas primeiras expressões, temos que
E se substituirmos esses valores na equação da restrição obtemos
De forma que as dimensões da nossa caixa serão
Resposta
As dimensões da caixa retangular são .