Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 49

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

O enunciado cita pra gente o exercício 49:

“Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c

E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à uma restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

Mas qual é função que estamos maximizando? E qual a restrição para esse caso?

A função que buscamos o valor máximo é a que descreve o volume da caixa! Ora, seja uma caixa de dimensões x , y e z de forma que o volume é dado por

f x , y , z = x y z

E ainda, com a condição da soma das arestas, temos a seguinte restrição

g ( x , y , z ) = 4 x + y + z

Passo 2

Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes ∇ f e ∇ g ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:

Para �� f

∂ f ∂ x = ∂   ( x y z ) ∂ x

∂ f ∂ x = y z

∂ f ∂ y = ∂   ( x y z ) ∂ y

∂ f ∂ y = x z

∂ f ∂ z = ∂   ( x y z ) ∂ z

∂ f ∂ z = x y

De forma que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = y z , x z , x y

Para ∇ g

∂ g ∂ x = ∂   ( 4 x + y + z ) ∂ x

∂ g ∂ x = 4

Analogamente, temos

∂ g ∂ y = 4

∂ g ∂ z = 4

De forma que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g = 4 ,   4 ,   4

Ou ainda

λ ⋅ ∇ g = 4 λ ,   4 λ ,   4 λ

Passo 3

Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever

y z , x z , x y = 4 λ ,   4 λ ,   4 λ

Agora vamos analisar cada uma das igualdades!

Temos o seguinte sistema:

y z = 4 λ

x z = 4 λ

x y = 4 λ

E incluindo a restrição, temos também

4 x + y + z = c

E de cara, pelas primeiras expressões, temos que

x = y = z

E se substituirmos esses valores na equação da restrição obtemos

4 x + y + z = c

x + x + x = c 4

x = c 12

De forma que as dimensões da nossa caixa serão

x = c 12

y = c 12

z = c 12

Resposta

As dimensões da caixa retangular são c 12 , c 12 , c 12 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados